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1、第1章 古典概型,1.1 验证性实验1.2 设计性试验1.3 综合性实验,第1章 古典概型,【古典概型简介】概率论是一门研究随机现象数量规律的学科，它起源于对赌博问题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。,他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。,概率概念的要旨是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论合理分配赌注问题，在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。,后来由于许多社会问题和工程
2、技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等，这些问题的提出，均促进了概率论的发展。,从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。,1933年，他发表了著名的概率论的基本概念，用公理化结构，明确定义了概率论中的基本概念，成为了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。,1.1 验证性实验,实验一 排列数与组合数的计算【实验目的】 1掌握排列数和组合数的计算方法 2会用Matlab计算排列数和组合数【实验要求】 1
3、掌握Matlab计算阶乘的命令factorial和双阶乘的命令prod 2掌握Matlab计算组合数的命令nchoosek和求所有组合的命令combntns,排列数与组合数的计算,1计算下列结果：（1）10！ （2）20！ （3）10!/20!,(1) factorial(10) 运行结果为： ans = 3628800,(2) prod(2:2:20) 运行结果为： ans = 3.7159e+009,(3) factorial(10)/ prod(2:2:20) 运行结果为： ans = 9.7656e-004,nchoosek(8,2)*factorial(2) 运行结果为： ans =
4、 56, nchoosek(8,2)运行结果为：ans = 28,(3) nchoosek(10,2)运行结果为：ans = 45,(4) x=2:1:4; y=factorial(x); factorial(9)/prod(y)运行结果为：ans = 1260,写出从1，2，3，4，5，6，7，8这8个数中取6个数的所有组合。, combntns(1:8,6)运行结果为：ans = 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 7 1 2 3 4 5 8 1 2 3 4 6 7 1 2 3 4 6 8 1 2 3 4 7 8,1 2 3 5 6 7 1 2 3 5 6 8 1 2 3 5 7
5、8 1 2 3 6 7 8 1 2 4 5 6 7 1 2 4 5 6 8 1 2 4 5 7 8 1 2 4 6 7 8 1 2 5 6 7 8,1 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 8 1 3 4 5 7 8 1 3 4 6 7 8 1 3 5 6 7 8 1 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 8 2 3 4 5 7 8,2 3 4 6 7 8 2 3 5 6 7 8 2 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8,1. 1 验证性实验,实验二 古典概率的计算【实验目的】 1.熟悉概率的概念和性质 2.掌握古典概率的计算方法，并通过实例加深对概率概念和性
6、质的理解【实验要求】 1.掌握Matlab计算阶乘的命令factorial和双阶乘的命令prod 2.掌握Matlab计算组合数的命令nchoosek 3.会用Matlab命令求古典概率,古典概率的计算,1设个人中每个人的生日在一年365天中任一天是等可能的。求当n为23，40，64时，这个人中至少有两人生日相同的概率各为多少？, n=23; p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365n运行结果：p =0.5073, n=40; p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365n运行结果：p = 0.8912, n=64; p=1-ncho
7、osek(365,n)*factorial(n)/365n运行结果：p = 0.9972,2某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？, p=212/712 %接待时间没有规定时，访问都发生在周二和周四的概率运行结果：p = 2.9593e-007此概率很小，由实际推断原理知接待时间是有规定的。,3在50个产品中有18个一级品，32个二级品，从中任意抽取30个，求其中(1)恰有20个二级品的概率；(2)至少有2个一级品的概率？,（1）p1=nchoosek(32,20)*nchoosek(18,10)/nchoosek(5
8、0,30)运行结果：p1 = 0.2096,（2） p2=1-(nchoosek(32,30)+nchoosek(18,1)*nchoosek(32,29)/nchoosek(50,30)运行结果：p2 = 1.0000,4某厂一、二、三车间生产同类产品，已知三个车间生产的产品分别占总量的50%，25%，25%，且这三个车间产品的次品率分别为1%，2%，4%三个车间生产的产品在仓库中均匀混合。从仓库中任取一件产品，求它是次品的概率；(2) 从仓库中任取一件产品，经检测是次品，求该产品产自于三个车间的概率?,（1） a=0.5,0.25,0.25; b=0.01,0.02,0.04; p1=do
9、t(a,b)运行结果：p1 = 0.0200,（2） a=0.5,0.25,0.25; b=0.01,0.02,0.04; p2=a.*b/p1运行结果：p2 =0.2500 0.2500 0.5000向量p2的三个分量正是所要计算的三个概率，而且第三个概率最大，说明该次品来自第三个车间的可能性最大。,1. 2 设计性实验,实验一 抛硬币试验的计算机模拟 抛硬币试验是概率论中非常简单易懂而且易于操作的试验，在概率研究的发展史上就有很多著名的数学家做了这样的试验，如表1：,现在，要求用Matlab模拟出抛硬币试验，并观察随着试验次数的增加，正面朝上的频率如何变化？试验并观察在相同的试验次数下，正
10、面朝上的频率是否相同？,抛硬币试验的计算机模拟,【实验方案】 抛一枚均匀硬币，容易知道正面朝上的概率是0.5。若做n次抛硬币试验，正面朝上的次数是k次，则正面朝上的频率是k/n。由贝努利大数定律，随着n的增大，频率k/n会趋近于概率0.5，这体现了频率的稳定性。但是频率不是n和k的简单函数，即使相同的n频率也会不同，这体现出频率的波动性,在Matlab的Medit窗口建立文件money.m：function y=money(n)for i=1:1:nx(i)=binornd(1, 0.5);end;k=sum(x);y=k/n,在Matlab的命令窗口输入下述命令： money(100)；y
11、= 0.4600 money(1000)；y = 0.4820 money(10000)；y = 0.4987 money(10000)；y = 0.4982,以上数据说明，随着试验次数的增加，正面朝上的频率逐渐增大，且趋近于0.5。但是即使试验次数一样，正面朝上的频率也会不同，这说明，频率既具有稳定性，又具有波动性。,1.2 设计性实验,实验二 蒙特霍尔问题 蒙特霍尔问题，亦称为蒙特霍问题或三门问题（英文：MontyHallProblem），是一个源自博弈论的数学游戏问题，出自美国电视游戏节目Lets Make a Deal”，问题的名字来自该节目的主持人蒙特霍尔(MontyHall）,这个
12、游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率？如果严格按照上述的条件的话，答案是会。换门的话，赢得汽车的机率是2/3。,这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。 以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自CraigF.Whitaker于19
13、90年寄给展示杂志（ParadeMagazine）玛莉莲莎凡（MarilynvosSavant）专栏的信件：假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号,门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？ 蒙特霍尔问题的结论是如此的与我们的直觉相违背，请用概率知识分析这其中的道理，并设计一个试验模拟蒙特霍尔问题，看模拟的结果是否与理论结果一致？,【实验方案】 蒙特霍尔问题的关键是电视节目主持人为了节目的紧张刺激，故意会打
14、开他事先知道的有羊的门，因此，如果不换的话，参赛者获得汽车的可能性是1/3。如果参赛者要更换选择，则他将会面临三种等可能性的情况： 参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号，更换选择将赢得汽车。 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号，更换选择将赢得汽车。,参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头，更换选择将不会赢得汽车。 在头两种情况，参赛者可以通过更换选择而赢得汽车，第三种情况是唯一一种参赛者通过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是通过更换选择而赢的，所以通过更换选择而赢的概率是2/3。,另一种解答是假设你永远都会更换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另
15、外一扇有山羊的门，消除了更换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。,在Matlab的Medit窗口建立montyhall.m文件：function nochange=montyhall(n)m=0;l=0;x=1,1,2;%此处用“1”代表山羊，“2”代表汽车for i=1:1:n k=unidrnd(3); if x(k)=2 m=m+1; l=l;,else m=m; l=l+1; endendnochange=m/nchange=l/n,在Matlab的命令窗口输入下述命令：
16、montyhall(1000)；nochange = 0.3380change = 0.6620 montyhall(10000)；nochange = 0.3307change = 0.6693, montyhall(100000)；nochange = 0.3317change = 0.6683 montyhall(1000000)；nochange = 0.3335change = 0.6665,通过以上数据可以看出，随着实验次数的增加，更换选择的频率趋近于2/3，而不做更换的频率趋近于1/3，这和理论分析的结果是一致的。这个例子告诉我们，用Matlab设计实验进行模拟，可以纠正我们的直
17、觉错误，同时也可以验证理论的正确性。,1.2 设计性实验,实验三 巴拿赫火柴盒问题【实验内容】 有一人有两盒火柴，每一盒有n根，每一次使用时，他在任一盒中取一根，问他发现一盒空，而另一盒有k根火柴的概率是多少？然后通过实验分析当n固定时，此概率随着k的增加而如何变化，此概率何时取得最大值？,【实验方案】 给这两盒火柴编号为A和B，则每次取到A和B中的火柴的可能性是一样的，都是1/2。在该人发现A盒火柴已经空了而B盒火柴还剩k根之前，该人相当于是做了2n-k次取火柴实验（贝努利实验），其中A盒火柴被取了n次，B盒火柴被取了n-k次。若以取到A盒火柴为实验成功，且X表示2n-k次取火柴实验中实验成
18、功的次数，则X服从参数为2n-k和1/2的二项分布，则A盒火柴被取了n次，B盒火柴被取了n-k次的概率为：,【实验过程】1观察当n为20时，随着k的增大，概率的变化趋势。在Matlab的命令窗口输入下述命令： n=20; for k=0:1:20 p=nchoosek(2*n-k,n)*0.5(2*n-k); fprintf(p(%d)=%d.n,k,p); end,然后运行上述文件，运行结果如下：p(0)=1.253707e-001.p(1)=1.253707e-001.p(2)=1.221561e-001.p(3)=1.157268e-001.p(4)=1.063435e-001.p(5)
19、=9.452759e-002.p(6)=8.102365e-002.p(7)=6.672536e-002.p(8)=5.257149e-002.p(9)=3.942862e-002.p(10)=2.798160e-002.,(11)=1.865440e-002. p(12)=1.157859e-002. p(13)=6.616339e-003. p(14)=3.430694e-003. p(15)=1.583397e-003. p(16)=6.333590e-004. p(17)=2.111197e-004. p(18)=5.507469e-005. p(19)=1.001358e-005.
20、p(20)=9.536743e-007. 从上述结果可以看到，当n为20时，随着k的增大，概率p越来越小,而且概率值变化很明显。,2观察当k固定时（固定为2），随着n的增大，概率的变化趋势。在Matlab的命令窗口输入下述命令： k=2; for n=10:1:20 p=nchoosek(2*n-k,n)*0.5(2*n-k); fprintf(p(%d)=%d.n,n,p); end,然后运行上述文件，运行结果如下：p(10)=1.669235e-001.p(11)=1.601791e-001.p(12)=1.541724e-001.p(13)=1.487818e-001.p(14)=1.4
21、39109e-001.p(15)=1.394829e-001.p(16)=1.354354e-001.p(17)=1.317176e-001.p(18)=1.282874e-001.p(19)=1.251100e-001.p(20)=1.221561e-001.,从上述结果可以看到，当k为2时，随着n的增大，概率p越来越小,但是概率值变化不是很明显。,巴拿赫火柴盒问题的计算机模拟：在Matlab的Medit窗口建立文件banahe.m：n=20;p=0.5;a=10000;for k=1:n m=0;for j=1:a nl=n; nr=n;,for i=1:2*n x=binornd(1,p
22、); if x=0 nl=nl-1; else nr=nr-1; end if nl=0|nr=0 break; endend,if (nl=0 endendfprintf(P(%d,%d)=%d.n,n,k,m/a)end,运行结果为：P(20,1)=1.302000e-001.P(20,2)=1.273000e-001.P(20,3)=1.267000e-001.P(20,4)=1.216000e-001.P(20,5)=1.118000e-001.P(20,6)=9.190000e-002.P(20,7)=8.070000e-002.P(20,8)=6.060000e-002.P(20,
23、9)=5.160000e-002.P(20,10)=3.670000e-002.P(20,11)=2.400000e-002.,P(20,12)=1.800000e-002.P(20,13)=1.050000e-002.P(20,14)=4.700000e-003.P(20,15)=2.200000e-003.P(20,16)=1.100000e-003.P(20,17)=7.000000e-004.P(20,18)=0.P(20,19)=0.P(20,20)=0.,上述结果是n=20，p=0.5对应的概率（k从1到20），模拟的结果和理论结果比较接近。读者也可以改变上述程序模拟k固定时，概率
24、随着n的值的变化结果。如果这两盒火柴放于此人的左右两个口袋里，而此人较习惯于用左手取火柴，假设每次用左手取火柴的概率为p=0.7，则此时结果又如何，理论结果与试验结果是否一致？,1.3 综合性实验,蒲丰投针实验 取一张白纸，在上面画上许多条间距为 d 的平行线。取一根长度为 l ( l d ) 的针，随机地向画有平行直线的纸上掷 n 次，观察针 与直线相交的次数，记为 m 。 计算针与直线相交的概率 计算圆周率的近似值。 历史上有不少著名数学家做了这个试验，投针试验的历史数据如表2：,【实验方案】 设针的中点与最近平行线的距离为y，针与最近平行线的夹角为x，则： 以x为横坐标，y为纵坐标，建立
25、直角坐标系，则每次掷针试验都随机地产生区域D中的一个点（x，y），其中区域D为：区域D就是本试验的样本空间，而容易知道针与线相交的条件是：因此事件“针与线相交”即为：,这种利用概率方法来进行数值计算的方法就是Monte Carlo 方法。在用传统方法难以解决的问题中，有很大一部分可以用概率模型进行描述。由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难。有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用。在这种情况下，可以考虑采用 Monte Carlo 方法。,Monte Carlo 方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好
26、是该模型的参数或其他有关的特征量。 然后通过模拟统计试验， 即多次随机抽样试验 （确定 m 和 n ）， 统计出某事件发生的频率。只要试验次数很大，该频率便近似于事件发生的概率。利用建立的概率模型，求出要估计的参数。 Monte Carlo 方法实质上是试验数学的一个分支。,【实验过程】在Matlab的Medit窗口建立文件buffonm：function buffon(n)l=1;d=2; m=0 ; for k = l:n y= unifrnd( 0, d /2 ); x= unifrnd( 0 , pi );if y0.5*l*sin(x)m=m+1 ;,else m=m;end end
27、 p=m/n PI=1/p 然后在命令窗口输入如下命令， for n=10000:10000:100000;buffon(n);end,运行后运行结果如下：p = 0.3178PI = 3.1466p = 0.3144PI = 3.1807p = 0.3192PI = 3.1325,p = 0.3178PI = 3.1469p = 0.3189PI = 3.1354p = 0.3153PI = 3.1716,p = 0.3176PI = 3.1489p = 0.3193PI = 3.1316p = 0.3208PI = 3.1171,p = 0.3192PI = 3.1327,思考： 1) 在上述的程序中任意调整 n 的取值，会发现什么规律？ 2) 参数 l ， d 的不同选择，会导致什么结果？ Monte Carlo 方法适用范围很广泛，它既能求解确定性的问题，也能求解随机性的问题以及科学研究中的理论问题。例如利用Monte Carlo 方法可以近似地计算定积分，即产生数值积分问题。,
