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1、第5章 分布参数系统的建模与仿真,陈无畏合肥工业大学机械与汽车工程学院,系统建模与仿真,5.1 分布参数系统的数学描述,定义：系统的状态变量、控制变量和被控变量不仅仅是时间的函数，而且是空间坐标的函数。 表示及描述方法：系统的模型表示为偏微分方程、积分方程或是偏微分积分方程，通常使用偏微分方程来描述系统。,5.1 分布参数系统的数学描述(续）,对于确定型的偏微分方程，采用一阶描述形式，可以用以下表达式,(5.1) (5.2) (5.3) (5.4) (5.5),现对上述表达式中的有关符号说明如下,5.1 分布参数系统的数学描述（续）,(1)自变量：常微分方程中自变量只有时间变量t，而在偏微分方
2、程中，其自变量除了时间 外，还有空间自变量 ；(2)输入变量 及输入段集合：映射 ；(3)因变量： ，且是z与t的函数；,5.1 分布参数系统的数学描述（续）,(4)式(5.2)确定边界条件， 表示Z的边界，在 上随时间变化满足该等式 ；(5)式(5.3)表示初始条件，即规定初始时刻 在域内的值；(6)输出变量 是空间和时间的函数；(7)式(5.5)规定了约束条件。,5.1 分布参数系统的数学描述（续）,当然，在某些情况下，系统是以高阶偏微分方程的形式给出。一般说来，经过适当变换，高阶偏微分方程可以转换成一阶偏微分方程组。,5.1 分布参数系统的数学描述（续）,偏微分方程的典型形式,5.1 分
3、布参数系统的数学描述（续）,(1)双曲方程 典型的有 对流方程 (5.6) 波动方程 (5.7)(2)抛物方程 典型的有扩散方程 (5.8)对流-扩散方程 (5.9)(3)椭圆方程 典型的有泊松方程 (5.10),5.1.2 分布参数系统模型的数学特征,分布特性：从动力学特性看，集中参数系统的解算子形成一个群，而分布参数系统的解算子一般只有半群的性质；从系统结构看，集中参数系统只有集中控制和集中测量，而分布参数系统有分布控制和分布测量、点控制和点测量、边界控制和边界测量。,5.1.3 分布参数模型的有限差分法,有限差分是对偏微分方程进行数值分析的近似方法。 常用方法之一就是中心差分法。 假设
4、，当t=常值时，如图5-1所示为一连续曲线 按照中心差分法， 点的斜率可用下式表示,5.1.3 分布参数模型的有限差分法（续）,(5.11),图5-1 有限差分定义,5.1.3 分布参数模型的有限差分法（续）,对于二阶导数也可采用同样的方法得到 ，于是可得以下偏导数表示式,5.1.3 分布参数模型的有限差分法（续）,为了计算方便，可以用一张二维网格图来表示，如图5-2所示。,图5-2 二维网格图,5.1.4 有限元法,基本思想：把边界问题化为变分问题，对求解区域 做剖分，使 成为有限个“单元”的和，在每一个单元上作未知函数的某种多项式插值，使它们在相邻单元的公共边界上满足某种连续性条件，以保证
5、用这种分片插值函数组成的有限维数空间SN 是未知函数解空间V的子空间。,5.1.4 有限元法（续）,一种常采用的三角形单元如图5-3所示。显见，有限元法不用网点阵列，而用许多相互连接的小子区域或单元来表示所研究的介质。,5.1.4 有限元法（续）,图5-3 有限元离散化,5.1.5 区域分解算法,基本思想：把计算区域分解为若干子域，子域的形状尽可能规则，于是原问题的求解转化为在子域上的求解。,5.1 分布参数系统的数学描述,优点：(1)它把大问题化为若干个小问 题，缩小了计算规模； (2)子区域形状规则（如长方形 等），其上或者允许使用熟知的快速算法，或者已经有解这类规则问题的高效软件；,5.
6、1.5 区域分解算法（续）,(3)允许使用局部拟一致网格，无需使用整体拟一致网格，甚至各子域可以用不同的离散方法进行计算；(4)允许在不同子域选用不同的数学模型，以便整体模型更适合于工程物理实际情况；,5.1.5 区域分解算法（续）,(5)算法是高度并行的，即计算的主要步骤是在各子域内独立进行；(6)对于对称区域问题有更简单的区域分解算法。,5.2 典型的分布参数系统实例,例 扭振杆系统如图5-4所示的扭振杆系统,图5-4 扭振杆系统,5.2 典型的分布参数系统实例（续）,对于厚度为 的一段扭杆，可用牛顿定律得到把 和 联系起来的微分方程。由材料力学得知，杆的上半段在任意时刻t作用在上面的弹性
7、力矩为 (5.14),5.2 典型的分布参数系统实例（续）,式中， 是圆截面的极惯性矩，G是材料的剪切弹性模量。在同一时间，因为T是位置y的函数，故杆的下半段作用在单元下平面的力矩是,5.2 典型的分布参数系统实例（续）,(5.15),(5.16),由牛顿定律得,这个偏微分方程就是：一维波动方程。,5.2 典型的分布参数系统实例（续）,5.2 典型的分布参数系统实例（续）,用解析法求解方程(5.16)。取所有的初始条件为零，于是得到,为求出 处角运动的频率响应，令,1.解析法,(5.25),5.2 典型的分布参数系统实例（续）,如图5-5所示，其频率响应存在无限多个固有频率，其数值可由下式算出
8、,图5-5 扭振模型的频率响应,5.2 典型的分布参数系统实例（续）,(5.26),若结构以其中某一固有频率振动，则此时的动态扭转曲线称为其振型。,5.2 典型的分布参数系统实例（续）,根据式(5.25)列出以下比值很容易得到其振型。图5-6示出了前三阶振型。,图5-6 扭振的各阶模态,5.2 典型的分布参数系统实例（续）,2.有限差分法 图5-7所示的是最简单的模型，在模型中取 以研究自由振动。用纯数学方法直接从偏微分方程转换成近似的常微分方程。 对于图5-7的模型来说，在 点处可写出,(5.27),5.2 典型的分布参数系统实例（续）,图5-7 扭杆的最简单的有限差分模型,5.2 典型的分布参数系统实例（续）,由于扭矩与扭转应变 成比例，故可写出,（后向差分） (5.28),，式(5.27)简化为,(5.29),(5.30）,所以,上式给出单一固有频率,Thank You !,
