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1、第5章 特殊平行四边形,5.1 矩形（第1课时）,矩形的性质,例1 如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线BD上的两点，且BF=DE.（1）按边分类，AOB是 三角形；（2）猜想线段AE，CF的大小关系， 并证明你的猜想.,分析：（1）由矩形的性质可得OA=OB=OC=OD；（2）若猜想AE=CF，则可以证明这两条线段所在的两个三角形全等，即ADECBF，也可以证明AE，CF所在的四边形AECF是平行四边形.,解：（1）等腰 （2）AE=CF,证明：如图，连结AF，CE. 由四边形ABCD是矩形，得OA=OC，OB=OD. DE=BF，OE=OF. 四边形AECF
2、是平行四边形，AE=CF.,注意点：证明两条线段相等的方法有很多，通常的思路是：（1）当两条线段位于一个三角形中时，可以借助于“等角对等边”来证明；（2）两条线段不在一个三角形中时，可以借助于两三角形全等来证明；（3）当两条线段是一个四边形的两条对边时，可以借助于证明这个四边形是平行四边形来证明等.,变式：如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE平分BAD，交BC于E，若CAE=15，求BOE的度数.,答案：四边形ABCD是矩形，ABC=BAD=90，AC=BD，AO=CO= AC，BO=DO= BD. AO=BO. AE平分BAD，BAE= BAD=45. 又CAE=15，BAO=B
3、AE+CAE=60. AOB是等边三角形，OB=AB，ABO=60. OBE=ABC-ABO=90-60=30.,BEA=90-BAE=45=BAE，AB=BE. OB=BE. BOE= = =75.,与矩形有关的折叠问题,例2 如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处.（1）求证：BE=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想 a，b，c之间的一种关系， 并给予说明.,分析：（1）可由BFE=BFE=BEF，得BE=BF=BF；（2）由于BE=BF=c，AB=AB=b，AE=AE=a，故由勾股定理可求得a，b，c之间的关系.,证明：（1）四边形
4、ABCD是矩形，ADBC，BFE=BEF. 由题意可得BFE=BFE，BF=BF，BFE=BEF，BE=BF=BF.（2）a2+b2=c2. 理由：A=A=90，BE2=AB2+AE2. 由（1）可知BE=BF=c，由已知可知AB=AB=b，AE=AE=a，a2+b2=c2.,注意点：图中折叠矩形，则BFE是一个等腰三角形，这一结论在解决折叠问题时有很重要的作用.,矩形的综合问题,例3 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连结EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，BEF=2BAC（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2 ，求AB的长,分析：（1）根
5、据矩形的对边平行可得ABCD，再根据两直线平行，内错角相等求出BAC=FCO，然后利用“角角边”证明AOE和COF全等，再根据全等三角形即可得证；（2）连结OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BOEF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得BAC=ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出ABO=30，即BAC=30，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB,证明：（1）在矩形ABCD中，ABCD BAC=FCO，在AOE和COF中，AOECOF（AAS），OE=OF；（2）如图，连结OB，BE=BF，OE=OF，BOEF，在
6、RtBEO中，BEF+ABO=90，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，BAC=ABO，又BEF=2BAC，即2BAC+BAC=90，解得BAC=30，BC=2 ，AC=2BC=4 ，AB= =6.,AECF，,BACFCO，,AOECOF，,注意点：本题要结合基本图形，运用了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半；作辅助线并求出BAC=30是解题的关键,例1 如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C，D的位置上，EC交AD于点G. 已知EFG=58，那么BEG= .,错答：由于A
7、DBC，所以CEF=EFG=58. 再根据折叠，得BEG=GEF= =61.,正答：BEG=180-258=64.,错因：矩形的折叠问题是中考的常见题型，要注意折叠后的图形与原图的折叠部分关于折叠线成轴对称. 此解法折叠对应的两个角CEF=FEG找错了，造成错误，由于矩形纸片ABCD沿EF折叠，所以CEF=FEG. 而ADBC，所以CEF=EFG=58，所以BEG=180-258=64. 故填64.,例2 在矩形ABCD中，已知AB=a，对角线AC与BD相交所成的锐角为60. 试求矩形对角线的长.,错答：如图1，在矩形ABCD中，AOB=60，根据矩形的对角线相等且互相平分，得到OB=OC. ACB=30，AC=2AB=2a.,正答：（1）当AB边是矩形中较短边时，如错解，求得对角线AC的长为2a. （2）当AB边是矩形中较长边时，如图2，在矩形ABCD中，AOD=60. 根据矩形的对角线相等且互相平分，得到OA=OB=OD=AD. 故AD为BD的一半. 设AD=x，则有x2+a2=(2x)2. 解得x= a，BD=2AD= a. 矩形对角线的长为2a或 a.,错因：由于题设中没有指明AB边是较短边，还是较长边，故需按所有可能情况分类讨论.,
