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1、第六章 换面法,一、问题的提出, 如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置平面的真实大小？,换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。,解决方法：更换投影面。,被保留的投影面,被替换的投影面,二、新投影面的选择原则,1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。,平行于新的投影面垂直于新的投影面,2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。, 更换一次投影面,A点的两个投影：a， a,A点的两个投影：a，a1, 新投影体系的建立,三
2、、点的投影变换规律,ax1,V,H,X,P1,H,X1,a,a,a1,V,H,A,a,ax,X,a1,ax1, 新旧投影之间的关系, aa1 X1, a1ax1 = aax, 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。,ax,a,一般规律：, 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。,.,更换H面, 求新投影的作图方法,V,H,X,由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。,a,a,ax,ax1,ax1,更换V面,作图规律：, 更换两次投影面, 新投影体系的建立,按次序更换,A,a,V,H,a,ax,X,
3、a,a,X,V,H, 求新投影的作图方法,作图规律 a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1,ax,四、换面法的六个基本问题,1. 把一般位置直线变换成投影面平行线,用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB/P1。,空间分析：,不行！,作图：,新投影轴的位置？,与ab平行。,2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线,功用:一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。,问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。,X1,一般位置直线变换为垂直线,3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线,空间分析：,a,b,a,b,X,V,H,作图：,二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。,X2轴的位置
4、？,与a1b1垂直,一次换面把直线变成投影面平行线；,例 1 已知等腰三角形ABC的底边为AB，试用换面法求出等腰三角形ABC的正面投影。,功用：可求解平面与投影面的倾角， 点与平面的距离， 两平行面间的距离等。,4. 把一般位置平面变换成投影面垂直面,问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。,一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？,如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。,空间分析：,在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。,作图方法：,能否只进行
5、一次变换？,思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？,正平线！,a,b,c,a,c,b,X,V,H,例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。,作 图 过 程：, 在平面内取一条水平 线AD。, 将AD变换成新投影 面的垂直线。,反映平面对哪个投影面的夹角？,5 . 将投影面的垂直面变成投影面的平行面,功用： 一次换面后可求解平面实形、形心、两直线交角等,问题的关键： 新投影轴必须平行于该平面的积聚性投影。,展开图,一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。,6. 把一般位置平面变换成投影面平行面,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,AB是水
6、平线,空间分析：,X2轴的位置？,平面的实形,与其平行,例 3 已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，求直线AB的水平投影。,c1,1 、求直线实长和与投影面的倾角 将直线变换成投影面的平行线。2 、求平面实形和形心 将平面变换成投影面的平行面。3、 求平面与投影面的倾角 将平面变换成投影面的垂直面。4、 求距离（1）点与直线之间 a 将直线变换成投影面垂直线。 b 将点与直线组成的平面变换成投影 面的平行面。,五、换面法的应用,（2） 点与平面之间 将平面变换成投影面垂直面。（3） 两平行线之间 将两直线变换成投影面垂直线。（4） 两平行平面之间 将两平面变换成投影面垂直面。 5 、
7、求夹角（1）两直线之间 将两直线组成的平面变换成投影面平行面。 （2） 两平面之间 将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两平面的交线变换成投影面的垂直线。,距离,d1,如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长。,作图:,求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。,空间及投影分析：,过c1作线平行于x2轴。,b,a,a,b,c,d,例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。,空间及投影分析：,V,H,X,圆半径=MN,作图：,请注意各点的投影如何返回？,求m点是难点。,空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投
8、影的夹角才反映实大（60），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。,例3: 过C点作直线CD与AB相交成60角。,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,几个解？,两个解！,已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。,思考：,如何解？,解法相同！,D点的投影如何返回？,V,H,X,例4：求平面ABC和ABD的两面角。,空间及投影分析：,由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。,在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。, 小 结 ,本章主要介绍了投
9、影变换的一种常用方法 换面法。,一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。,二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。,三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。,换面法的四个基本问题：,2. 把一般位置直线变成投影面垂直线,1. 把一般位置直线变成投影面平行线,3. 把一般位置平面变成投影面垂直面,4. 把一般位置平面变成投影面平行面,变换一次投影面,变换一次投影面,变换两次投影面,变换两次投影面,需先在面内作一条投影面平行线,四、解题时一般要注意下面几个问题：, 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。, 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。, 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。,
