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1、1. 均差与Newton插值,前一次课内容回顾,2. Hermite插值（已知函数值和一阶导数值、分段三次Hermite插值）,3. 三次样条插值（定义及建立方法）,第六章数据拟合方法,第六章 数据拟合方法,数据拟合的最小二乘法Bezier曲线正交多项式最佳平方逼近,例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录:,纤维强度随拉伸倍数增加而增加。,6.1数据拟合的最小二乘法,一、 曲线拟合的数学描述与问题求解,24个点大致分布在一条直线附近。,故可认为强度y与拉伸倍数x的主要关系应为线性关系：,必须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数
2、据点。,1、数据拟合问题,研究内容：从一大堆看上去杂乱无章的数据中找出规律性来，即设法构造一条曲线（拟合曲线）反映所给数据点总的趋势，以消除其局部波动。这种要求曲线尽可能逼近给定数据的过程称“拟合”。,给定一组值：,求函数,使得,最小。,据实验数据分布特点选取，可选幂函数类、指数函数类、三角函数类等。,（1）若(x)为一元函数，则函数曲线为平面图形，称曲线拟合。,（2）(x)为拟合函数，上式最小为拟合条件（即要求拟合曲线与各数据点在y方向的误差平方和最小）。,（3）函数类的选取：,说明：,残差向量的各分量平方和记为：,2、最小二乘法：,以残差平方和最小问题的解来确定拟合函数的方法。,令,在回归
3、分析中称为残差,(i=1,2,m),残差向量：,由多元函数求极值的必要条件，有,可得,即,上式为由n+1个方程组成的方程组，称正规方程组。,由,得,即,引入记号,则由内积的概念可知,显然内积满足交换律,正规方程组便可化为,将其表示成矩阵形式：,其系数矩阵为对称阵。,所以正规方程组的系数矩阵非奇异,即,根据Crame法则，正规方程组有唯一解，称其为最小二乘解。,作为一种简单的情况，常使用多项式函数Pn(x)作为(xi,yi) (i=1,2,m)的拟合函数。,基函数之间的内积为：,拟合函数(x)=Pn(x)的基函数为：,即正规方程组为,例. 回到本节开始的实例，从散点图可以看出，,纤维强度和拉伸倍
4、数之间近似线性关系，故可选取线性函数,为拟合函数建立正规方程组，其基函数为,根据内积公式，可得,正规方程组为,解得,残差平方和：,拟合曲线与散点的关系如右图:,即为所求的最小二乘解。,故,若mn+1，则此方程组称超定方程组（方程个数未知数个数）,二、 超定方程组的最小二乘解,将拟合函数以向量表示：,令,（i=1,2,m）,可得,考虑正规方程组,（k=0,1,n）,（1）未知数aj的系数,为超定方程组中系数阵第k列与第j列对应积之和（即内积( k, j)）；,（2）右端向量,为系数阵第k列与m个函数值对应积之和。,可知：,故正规方程组矩阵形式为：,若有唯一解，称其为超定方程组的最小二乘解。,注：
5、最小二乘解并不能满足超定方程组中每个方程，但要求尽可能接近给定数据，即允许每个等式可以稍有偏差（即残差）。,求一般超定方程组Ax=b的主要过程：,（1）求出系数矩阵A的转置矩阵AT；,（2）计算矩阵D=ATA和向量f=ATb；,（3）求解正规方程组Dx=f。,例1 用多项式函数拟合下述给定数据：,解：,设,得,即,记系数矩阵为，则,故正规方程组为,解得,注：具体用几次多项式拟合，可据实际情况而定。可先画草图，将已知点描上去，看与什么函数相近，就以什么函数拟合。,拟合曲线：,Bezier曲线：由一组多边形折线的各顶点P0 , P1 , Pm定义 。只有第一点和最后一点在曲线上，其余点用以定义曲线
6、的阶次与导数，多边折线的第一段与最后一段表示出曲线在起点和终点处的切线方向。,6.2Bezier曲线,若给定控制多边形顶点P0 ,P1 , Pm坐标(x0 ,y0 ) ,(xm ,ym )，则相应的Bezier多项式定义为：,Bezier曲线的数学表达式：,其中,（1）一次Bezier曲线（m=1）：通过平面上两点P0 ,P1 的直线段。,若记,(k=0,1,m),则有,矢量表示,下面给出m=1,2,3时，Bezier曲线数学表达式：,（2）二次Bezier曲线（m=2）：通过平面上三点P0 ,P1 ,P2的抛物线。,若记,则m次Bezier多项式可表示为,（3）三次Bezier曲线（m=3）
7、：通过平面上四点P0 ,P1 ,P2 ,P3的三次曲线。,Bezier多项式性质：,（1）,（2）,（3）,1. 曲线拟合的最小二乘法,前一次课内容回顾,2. 超定方程组的最小二乘解,3. Bezier曲线*,6.3正交多项式,正交函数系的概念：,定义1 设 f(x), g(x)Ca, b, (x)是区间a,b上的非负函数，则称,为a,b上以(x)为权函数的内积。,定义2 设 f(x), g(x)Ca, b, (x)是区间a,b上的权函数，若,成立，则称f(x), g(x)在a, b上带权(x)正交。当(x)=1时，简称正交。,函数逼近的重要工具,若函数系,满足关系,则称 是a,b上带权(x)
8、的正交函数系。,若Ak1，则称之为标准正交函数系。,例：三角函数系,在区间-, 上是正交函数系。,例1 验证 0(x)=1, 1(x)=x 在 1, 1上正交。,解:,所以 0(x)与 1(x)在 1, 1上正交。,例2 证明:当mn时,cos(m ) 和 cos(n)在区间-, 上正交。,证,所以, cos, cos2, cos3, cos(n), 是正交函数系。,定义：设 n(x)是a,b上首项系数an0的n次多项式， (x)为a,b上的权函数，如果多项式序列 k(x) (k=0,1,2,) 满足关系式,则称多项式序列 k(x)(k=0,1,2,) 在a,b上带权正交;, n(x)为区间a
9、,b上带权(x)的n次正交多项式。,下面给出几种常见的正交多项式。,1.表达式 P0(x) = 1, P1(x) = x,(n 1),2. 正交性,一、勒让德（Legendre）多项式：,区间为-1,1，权函数 (x) 1时，由1,x,xn,正交化得到的多项式称为勒让德多项式，并用P0(x),P1(x),Pn(x),表示。,3.递推式,4.零点分布,Pn(x)在区间 1, 1内有n 个不同的实零点。,P2(x)的两个零点:,P3(x)的三个零点:,T0(x)=1, T1(x)= cos = x, T2(x)=cos2 Tn(x)=cos(n),二、切比雪夫（Chebyshev）多项式：,区间为
10、-1,1 时，由1,x,xn,正交化得到的多项式就是切比雪夫多项式，它可表示为：,当权函数,若令,则,切比雪夫多项式有如下重要性质：,由 cos(n+1)=2 cos cos(n) cos(n-1) 得,Tn+1(x) = 2 x Tn(x) Tn-1(x) (n 1),所以,1.递推公式:,由递推关系可得Tn(x)的最高次项系数是2n-1 ， (n1)。,切比雪夫多项式在 1 , 1上带权 正交，且,2.切比雪夫多项式的正交性,事实上，令,则,于是,3.切比雪夫多项式零点,n阶Chebyshev多项式: Tn=cos(n), 或 Tn( x ) = cos(n arccos x ),T1=c
11、os=x,Tn(x)在区间 1, 1内有n 个零点。,正交多项式是与区间和权函数相关的，不同的区间，不同的权函数就给出了不同的正交多项式。但一般都具有正交性质和三项递推性质。,三、其它常用的正交多项式：,1、第二类切比雪夫（Chebyshev）多项式：,区间：,权函数：,表达式：,令,可得,递推公式：,2、拉盖尔多项式：,区间：,权函数：,表达式：,正交性：,递推公式：,3、埃尔米特多项式：,区间：,权函数：,表达式：,正交性：,递推公式：,6.4最佳平方逼近,函数逼近：已知给定区间a,b上的连续函数f(x),用一个简单的、易于计算的函数P(x)来近似代替f(x)。,定义：设 0(x), 1(
12、x), n(x)是a,b上线性无关的连续函数， a0,a1,an是任意实数，则,的全体是Ca,b的一个子集，记为,并称 0(x), 1(x), n(x)是该集合的一个基底。,例如，,表示由基底1,x,xn生成的普通多项式的集合。,定义：对于给定区间a,b上的连续函数f(x)，如果存在函数S*(x)=span 0(x), 1(x), n(x)使,则称S*(x)是f(x)在集合中的最佳平方逼近函数。,当=Pn=span1,x,x2,xn时，满足上述条件的S*(x)是f(x)的n次最佳平方逼近多项式，简称n次最佳平方逼近。,设,显然求最佳平方逼近函数,的问题可归结为求其系数a0*, a1*, an*
13、,使多元函数,取得最小值。点a0*, a1*, an*是a0, a1, an的极值点。,利用多元函数求极值的必要条件，可得关于系数a0, a1, an的n+1阶线性方程组，即正规方程组，其矩阵形式为,由于 0(x), 1(x), n(x)线性无关，该方程组系数矩阵行列式不为零，故存在唯一解ak =ak*（k=0,1,n）。,例：已知 f(x)C0, 1, 求多项式 P(x) = a0 + a1x + a2 x2 + + an x n,解: 令,使得,系数矩阵是严重病态矩阵（Hilbert矩阵）。,令,例：在区间1/4, 1上给定函数f(x) = ，求其在集合span1,x上(x)=1的最佳平方
14、逼近函数。,解：,因正规方程组的矩阵形式为：,由 0(x) = 1, 1(x) =x ，x 1/4, 1，故所求的最佳平方逼近函数可设为,先计算六个内积：,故正规方程组为,解得,故所求多项式函数为,上面方法中，需要计算六个积分值，同时还需要求解线性方程组，故计算量较大。,可采用正交多项式作基底的方法使问题简化。,实际应用中，对于一般的基底 0(x), 1(x) , , n(x)，当n稍大时，求解正规方程的工作量是很大的，若采用1,x,xn作基底，当(x)=1时，虽然计算简单，但其正规方程组的系数矩阵往往是病态的，一般来说，当n4时，其计算结果就不能令人满意。,用正交多项式作最佳平方逼近：,设P0(x), P1(x), ,Pn(x)为区间a , b上的正交多项式, 即,(k j , k,j = 0,1,n),求 P(x) = a0P0(x) + a1P1(x) + + anPn(x),使,由正交多项式的性质，正规方程组,可化为,即,得,(k = 0, 1, 2, , n ),例：在区间1/4, 1上求函数f(x) = 的最佳平方逼近函数。,解: 令 P0(x) = 1, P1(x) = x 5/8，则P0(x)与P1(x) 正交，故取最佳平方逼近函数形式为,则,计算积分如下：,所以,所求最佳平方逼近函数为:,P159习题六：1，2，3，4，6,本章作业,
