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1、空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线,第六节 隐函数存在定理的几何应用,1,空间曲线的切线与法平面 第六节 隐函数存在定理的几何应用1,一、空间曲线的切线与法平面,1.设空间曲线C的参数方程为:,它们在 可导,且,取定曲线上一点,过曲线C上两点的割线方程为,2,一、空间曲线的切线与法平面1.设空间曲线C的参数方程为:它们,或,当 沿曲线C 时,即 割线的,极限位置就是曲线在点 的切线.,则切线方程为,3,或当 沿曲线C 时,即 割线的极限,切线的方向向量,称为曲线C在点的切向量。,一个平面通过空间曲线C上的一点,且与点的切线垂直，称此平面是空间,曲线C在点的法平面。,在法平面上任取一点,
2、则,与切向量垂直即,法平面方程,4,切线的方向向量称为曲线C在点的切向量。一个平面通过空间曲,法平面方程是,或,例1求螺旋线,在 处的切线方程与法平面方程,5,法平面方程是或例1求螺旋线在 处的切线方程与法平面方,若空间曲线C是由函数方程组,所确定,若方程组在曲线C上一定点 的某,邻域满足隐函数组定理的条件，即,对x,y,z的偏导数在点P的邻域内连续，,不妨设,且,不同时为零，,6,若空间曲线C是由函数方程组所确定若方程组在曲线C上一定,曲线C的参数方程为,切向量,利用 分别对求偏导，求出,则在点某邻域，曲线C可表示为,7,曲线C的参数方程为切向量利用 分别对求偏导，求出则,解得,从而可得曲线
3、在点 的切线方程：,法平面方程,8,解得从而可得曲线在点 的切线方程：法平面方程8,皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病，而且不少患者同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下： 1、早期皮肌炎患者，还往往伴有全身不适症状，如-全身肌肉酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉两腿费力；举手梳理头发时，举高手臂很吃力；抬头转头缓慢而费力。,皮肌炎图片皮肌炎的症状表现,皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重,例2求曲线 在点,法平面方程：,切线方程：,解,处的切线及法平面方程。,10,例2求曲线 在点法,它的在点的法线方程是,1.设曲面S的方程是 ,的切平面方程是,二、曲
4、面的切平面与法线,法向量,则它的在点,它在点 可微,11,它的在点的法线方程是1.设曲面S的方程是,设曲面S的方程是在曲面S,上任取一点 .,满足函数确定的隐函数的条件，曲面S可表为,则曲面在点M的切平面方程是,则曲面S在点M的法线方程是,若 在点M,12,设曲面S的方程是在曲面S上任取一点,例3 求曲面 上点,的切平面的方程与法线方程.,解,切平面方程与法线方程分别为,与,13,例3 求曲面 上点的切平面的方, 设曲面S的方程是,取定,对应曲面上的点,若函数组 满足11.1定理,则在点 的邻域存在连续偏,导数的反函数组,代入 有,曲面S在点M的法向量为,的推论，,14, 设曲面S的方程是取定 对应曲面上,对u,v求偏导,解方程组，得,它的在点的切平面方程是,15,对u,v求偏导解方程组，得它的在点的切平面方程是,法线方程是,它在点,例4求曲面,在点 对应的曲面上点的切平面,方程与法线方程,16,法线方程是它在点例4求曲面在点,练习: 1 求球面 与锥面,所截出的曲线的点,处的切线与法平面方程.,2. 求椭球面 在,处的切平面方程与法线方程.,17,练习: 1 求球面,练习的答案:,1.切线方程,法平面的方程,2.切平面方程,法线方程,18,练习的答案:1.切线方程法平面的方程2.切平面方程法线方程1,
