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1、灰色组合模型,南京航空航天大学 灰色系统研究所,第六章,引言 组合模型的必要性,仅用单一模型难以全面地揭示研究对象的发展变化规律,一般统计模型建模大都需要拥有大量的观测数据，许多经济数据难以满足统计模型的建模要求。,任何一种模型只是研究对象若干侧面中某一个（或某几个）侧面的一种映象，同时由于系统的发展演化过程，往往是许许多多可知因素和未知因素、确定性因素和不确定性因素相互作用的结果，,1,2,灰色系统需要的数据较少，核心模型GM(1,1)仅用4个数据就可以估计出模型参数，且可达到一 定的模拟精度,灰色系统理论在建模过程中一方面提倡尊重原始数据而又不拘泥于原始数据，并允许以科学的定性分析为基础对
2、研究对象的实验、观测、统计数据进行必要的调整和修正,本章结构,灰色经济计量学模型,灰色周期外延组合模型,灰色人工神经网络模型,灰色线性回归组合模型,灰色马尔可夫模型,灰色经济计量学模型,第一节,BACK,6.1 灰色经济计量学模型,经济计量学模型,滞后变量模型,非线性模型,一元线性回归模型,联立方程模型,多元线回归模型,BACK,6.1 灰色经济计量学模型,单一经济计量学模型存在的问题及原因分析,存在问题： 估计经济计量学模型参数，常常会出现一些难以解释的现象,如一些重要解释变量的系数不显著或某些参数估计值的符号与实际情况或经济分析结论相矛盾，个别观测数据的微小变化引起多数估计值发生很大变动等
3、。,BACK,6.1 灰色经济计量学模型,单一经济计量学模型存在的问题及原因分析,原因分析：观测期内系统结构发生较大变化；解释变量之间存在多重共线问题；观测数据的随机波动或误差。,需要对模型结构或解释变量重新研究、调整,可以考虑采用观测数据的GM(1,1)模拟值建模，以消除数据随机波动或误差的影响,BACK,6.1 灰色经济计量学模型,运用灰关联原理确定进入模型系统的主要变量,BACK,（1）删去与被解释变量微弱关联的部分解释变量 给定下阈值 ，当 时，删除 ；（2）基于灰色关联聚类确定进入模型系统的变量计算保留解释变量 之间的关联度 ，给定上阈值 ，当 时，视 与 为同类变量。在每一类中选择
4、一个代表作为进入模型系统的变量，删除其余变量。,6.1 灰色经济计量学模型,灰色经济计量学模型的步骤,第一步：理论模型设计,第二步：建立GM(1,1)并获得模拟值,对所研究的经济活动进行深入分析，根据研究目的，选择进入模型的变量，并根据经济行为理论或经验以及样本数据所呈现出的变量间的关系，建立描述这些变量之间关系的数学表达式。,建立GM(1,1)并获得模拟值。为了消除模型各变量观测数据的随机波动或误差，采用各变量的观测数据分别建立GM(1,1)，然后运用各变量的GM(1,1)模拟值作为建立模型的基础序列。,BACK,6.1 灰色经济计量学模型,灰色经济计量学模型的步骤,第三步：参数估计,第四步
5、：模型检验,第五步：模型应用,模型设定后，应根据由GM(1,1)模拟得到的模拟序列，选择适当的方法，如最小二乘法，求出模型参数的估计值。,BACK,6.1 灰色经济计量学模型,某地区粮食生产系统分析及预测,BACK,案例分析,基于灰色经济计量学组合模型建模的思想方法，在某区粮食生产系统分析及预测研究中，根据向60位专家进行三轮德尔菲函询的结果，归纳出影响粮食单位面积产量的相关因素共有以下24种：,6.1 灰色经济计量学模型,6.1 灰色经济计量学模型,6.1 灰色经济计量学模型,计算上述各个变量与粮食单位面积产量的关联度 ，取下阈值 ， 皆小于0.4，故将 从解释变量中删去，然后计算保留变量
6、之间的关联度 ，取上阈值 ，将上述15个保留变量分为以下7个子类：,6.1 灰色经济计量学模型,分别以 作为子类 的代表元，得到影响粮食单位面积产量的7个主要解释变量：,6.1 灰色经济计量学模型,案例分析,BACK,用GM(1,1)模拟值作为基础数据估计模型参数，得到以下估计式：,6.1 灰色经济计量学模型,案例分析,BACK,解释变量对 ， 的影响显著，解释力分别达到97.96%和98.71%。为进一步研究粮食总产量，需要建立夏粮、秋粮播种面积模型。 影响播种面积的主要因素有：从而有夏粮播种面积 和秋粮播种面积 的定义式方程：建立解释变量的GM(1,1)模型，以解释变量的预测值为基础对内生
7、变量进行预测，可以提高预测的科学性。,解释变量 的时间响应还原式如下所示， 和 的预测结果由灾变模型给出。,6.1 灰色经济计量学模型,6.1 灰色经济计量学模型,表6.1.1 解释变量预测结果,6.1 灰色经济计量学模型,BACK,表6.1.2 夏粮、秋粮单产和播种面积预测值,6.1 灰色经济计量学模型,BACK,表6.1.3 某区粮食总产量预测值,6.1 灰色经济计量学模型,案例分析,BACK,6.1 灰色经济计量学模型,案例分析,BACK,6.1 灰色经济计量学模型,表6.1.4 主要粮食作物总产量GM(1,1)预测值 （单位：万吨）,灰色生产函数模型,第二节,BACK,6.2 灰色生产
8、函数模型,经典生产函数模型,BACK,C-D生产函数模型,其中Y为产出，K为资本投入，L为劳动力投入； 为常数，为资本弹性，为劳动力弹性，为技术进步系数,C-D模型的线性形式,6.2 灰色生产函数模型,经典生产函数模型存在的问题及解决思路,BACK,对于给定的,可以得到 ，的估计值。,计算索洛“余值”。,经典生产函数模型存在的问题及解决思路,6.2 灰色生产函数模型,即可由下式计算出技术进步贡献率,问题：数据波动导致参数估计和计算结果错误！解决思路：用GM(1,1)模拟值作为参数估计的基础数据。,6.2 灰色生产函数模型,灰色生产函数模型,BACK,6.2 灰色生产函数模型,案例分析,BACK
9、,分四个时期估计模型参数：19521962，19621970，19701980，19801995,河南省技术局步贡献率测算,6.2 灰色生产函数模型,案例分析,BACK,表6.2.1 河南省不同时期技术进步贡献率,6.2 灰色生产函数模型,由计算资金和劳动力对产出增长速度贡献率的公式计算出资金和劳动力对产出增长的贡献率,案例分析,BACK,6.2 灰色生产函数模型,案例分析,表6.2.2 河南省不同时期资金和劳动贡献率,灰色线性回归组合模型,第五节,BACK,6.5 灰色线性回归组合模型,单一线性回归组合模型、GM（1,1）模型的不足,线性回归模型不能描述指数增长趋势,GM(1,1)模型不能描
10、述变量间的线性关系,BACK,6.5 灰色线性回归组合模型,定义,BACK,定义6.5.1 设序列,为其1-AGO序列, 其中,称为灰色线性回归组合模型，其中 及 为待定参数。,6.5 灰色线性回归组合模型,引理6.5.1,BACK,灰色线性回归组合模型中的参数 的估计值 可以由下式得到,其中,6.5 灰色线性回归组合模型,定理6.5.1,BACK,灰色线性回归组合模型的矩阵形式和参数向量估计的矩阵形式分别为,其中,6.5 灰色线性回归组合模型,实例6.5.1 某矿岩下沉预测,BACK,表6.5.1 下沉值原始序列,根据对数据变化特点的分析，决定选择灰色线性回归组合模型对下沉值进行预测。,6.
11、5 灰色线性回归组合模型,参数 的估计值为,BACK,参数向量 的估计结果为,由此可得灰色线性回归组合模型,6.5灰色线性回归组合模型,从而得到各个时刻的模拟值、预测值如表6.5.2,实例预测,BACK,表6.5.2 模拟值和预测值,灰色马尔可夫模型,第六节,BACK,6.6 灰色马尔可夫模型,马尔可夫链,BACK,定义6.6.1 若随机过程 的转移概率满足,则称 为马尔可夫链。称,为马尔可夫链的转移概率。若转移概率 与n,无关，则称 为齐次马尔可夫链。,6.6 灰色马尔可夫模型,马尔可夫链,BACK,定义6.6.4 设 为转移概率，则称,为系统状态转移概率矩阵。,命题6.6.1转移概率矩阵
12、P 中的元素具有以下性质:,6.6 灰色马尔可夫模型,马尔可夫链,BACK,定义6.6.5 称 为马尔科夫链的 n 步转移概率。称 为 n 步转移概率矩阵。,命题6.6.2 n 步转移概率矩阵具有以下性质：,6.6 灰色马尔可夫模型,灰色状态马尔可夫模型,按照灰色状态马尔柯夫预测方法可以预测下一期最可能出现的状态，具体步骤如下：第一步：划分预测对象（系统）所出现的状态。设为第二步：计算初始概率（频率）。,设有s个状态 ，在观测记录的M期中，状态 出现了 次，则,6.6 灰色马尔可夫模型,灰色状态马尔可夫模型,第三步：计算状态转移概率。 的一步转移频率（概率）,其中 为从 个 出发，下一步转移到
13、 的个数。类似可得m步状态转移概率的近似值,其中 为从 个 出发，经m步转移到 的个数。,6.6 灰色马尔可夫模型,灰色状态马尔可夫模型,第四步：根据转移概率进行预测。根据最大概率准则，当,时，可以推测下一步系统将转向状态 。 当矩阵 P中第i行转移概率的最大值难以确定时（即第i 行有两个或两个以上相同或十分接近的最大值），可以进一步考察二步或 n 步转移概率矩阵 或,6.6 灰色马尔可夫模型,应用实例,例6.6.1某商店在最近20个月的商品销售量统计记录如下：,表6.6.1商品销售量统计表单位：千件,试预测第21个月的商品销售量。,6.6 灰色马尔可夫模型,灰色状态马尔可夫模型,第一步：划分
14、状态（1）滞销状态：（2）一般状态：（3）畅销状态：第二步：计算初始概率,滞销状态一般状态畅销状态,6.6 灰色马尔可夫模型,灰色状态马尔可夫模型,第三步：计算状态转移概率矩阵,6.6 灰色马尔可夫模型,第四步：预测第21个月的销售情况第20个月处于畅销状态，由,可知第21个月仍将处于“畅销”状态。,6.6 灰色马尔可夫模型,灰色转移概率马尔可夫模型,BACK,定义6.6.6 转移概率为灰元的马尔可夫链称为灰色马尔可夫链。,设 为灰色马尔可夫链的白化矩阵，则其元素满足,6.6 灰色马尔可夫模型,命题6.6.3 设有限状态灰色马尔可夫链的初始分布为,转移概率矩阵为,则下一期系统分布为,第二期系统分布为,第s期系统分布为,6.6 灰色马尔可夫模型,根据实际情况，也可以先对灰色马尔可夫链的转移概率矩阵进行白化，然后直接求出各期系统分布的白化向量。例6.6.1某经济系统有偏热，正常，偏冷三种状态，分别记为 ，系统状态转移概率矩阵见表6.6.1。（1）试求系统1步和2步转移概率矩阵的白化矩阵；（2）设系统初始分布为,6.6 灰色马尔可夫模型,求出下一期和第2期系统分布的白化向量。,表6.6.1系统状态转移概率,6.6 灰色马尔可夫模型,解：（1）,（2）,南京航空航天大学 灰色系统研究所,
