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1、1,第六章有偏估计之病态方程的常用解法1、截断奇异值法2、正则化法,为什么要研究病态方程： 当误差方程为病态时，即使观测数据服从正态分布，其最小二乘估值也不理想，甚至很差，其方差虽然在线性无偏估值类中是最小，但方差的值却很大，即平差精度很差，而且解相当的不稳定。,1、矩阵的条件数,一、病态问题与条件数,若系数阵A或常数项b的微小变化，会引起方程组的解x有巨大变化，则这种方程组称为“病态方程组”。A称为病态矩阵。,定义,不稳定模型：输入数据很小的误差会引起待估参数很大的误差。所以病态方程也是不稳定模型。,矩阵的条件数：,2、病态性程度的衡量方法,解释：复共线性,复共线性，指的是平差参数之间具有近
2、似相关关系，反映在误差方程的设计矩阵上，就是列向量间的某些数据列可以由其余的数据列近似（非精确）地线性表示。 在最小二乘平差中，“复共线性”就是指“病态性”。,3、病态方程产生原因,1、参数选取原因。（参数近似相关或过度参数化）2、观测原因。（样本为局部采样或接近重复采样）3、模型选择原因。（模型建立的方法不同，其病态程度不同）4、计算方面原因。（计算方法要稳定，计算机字节长度应长一些）,4、病态方程最小二乘估值的性质,病态方程处理的观测值可以是正态分布，但其LS估值并不理想，甚至很差。 虽然LS估计的方差在线性无偏类估值中是最小，但数值却很大，并表现得相当不稳定。 常用均方误差MSE来评价病
3、态情形下参数的估值质量。,问题的适定性：人们根据已获取的观测数据和物理规律，列出的数学模型，当这些模型具有下述性质： 1、解存在；、解唯一；、解稳定。则这个问题称为适定性问题。不适定性： 不满足上面三个条件中的任意一个或多个。不适定问题通常是病态的，但病态问题不一定就是不适定问题。不适定问题通常是求方程的稳定近似解。,5、什么样的方程可能是病态的？,1）行列式的值很大或很小（如某些行、列近代相关）；2）元素间相差大数量级，且无规则；3）主元消去过程中出现小主元；4）特征值相差大数量级。,二、病态方程的解法,1、病态方程的截断奇异值解法,奇异值分解技术(Singular Value Decomp
4、osintion Technique，简记为SVD法),平差中，设计矩阵B为病态，其秩为R(B)=t。通过截断，适当去除（t-T）个大误差项，恢复了一些解的主要特性，但也丧失了一些解的精确性。,13,2、病态方程的正则化解法,可见 ，正则化方法的核心是通过附加“全部或部分参数（或其改正数）加权平方和极小”的条件，增加约束，补充（先验）信息，来克服不适定性，使解唯一且稳定。,14,3、正则化解的单位权方差无偏估计,正则化解的残差及自由度与最小二乘解不同，因此其单位权方差估计式也不同。,岭参数（正则化参数）的选取L曲线法（1）,18,正则化参数的谱分解求取法（2）,当均方误差矩阵 时，求得的为最优值。但由于参数真值未知，若用最小二乘解作为近似值代入，也不会得到的最优值。事实上，每一个计算正则化参数的准则都有其优点和缺点及适用的特定场合，不存在一个准则在所有场合都优于其它准则。,20,21,
