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1、直接证明与间接证明,古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。,路边苦李,小故事,小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”,王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”,将9个球分别染成红色或白色无论怎样染色，至少有5个球一 定是同色的。正确吗？,球染色问题,数学中常见实例分析：,先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知
2、条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确,这种证明方法叫做,反证法,间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法.,反证法是一种常用的间接证明方法.,肯定条件p否定结论 q,导致逻辑矛盾,“q”为假,“q”为真,正确的推理,归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。,反证法:先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立，是错误的,即所求证的命题正确.这样的证明方法叫做反证法,常用的互为否定的表述方式：,至少有一个至少有三个至少有n个最多有一个,一个也没有,至多有两个,至多有(n-
3、1)个,至少有两个,1,1,3,3,n,n,1,1,准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.,不是,不都是,不大于,大于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,存在某x，不成立,存在某x,成立,不等于,某个,写出下列结论的反面情况：,（1）ab；,（3）x是负数；,（4）ab；,（5）A是锐角；,（2）AB=CD；,（6）三角形的外角中，至少 有两个钝角.,写出下列结论的反面情况：,（7）三角形中最多有一个角 是直角.,试一试,求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60.,证明：假设结论不成立，即：A_ 60, B _
4、60,C _ 60,则A+B+C180 .这与_相矛盾.所以_不成立，所求证的结论成立.,三角形内角和等于180,假设,试一试:,证明：假设所求的结论不成立，即 A_ 60 , B_60 , C _60 则A+ B+ C180 这与_相矛盾 所以_不成立， 所求证的结论成立,“三角形的三个内角之和等于180 ”,假设,用反证法证明(填空):在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于60 ,已知:A ,B ,C是ABC的内角（如图）求证:A , B , C中至少有一个角大于或等于60 ,试一试,1=2 (两直线平行,同位角相等),这与已知的12矛盾,假设不成立,证明：假设结论不成立，则ab,证明:
5、,因为,所以,反证法的一般步骤：,假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立；,从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；,(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。,1、试说出下列命题的反面：（1）a是实数。（2)a大于2。（3）a小于2。 （4）至少有2个（5）最多有一个 （6）两条直线平行。2、用反证法证明“若a2 b2,则a b”的第一步是。3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步。,a不是实数,a小于或等于,a大于或等于,没有两个,一个也没有,两直线不平行,假设a=b,假设这个三角形是等腰三角形,大家议一议！,通过本节内容
6、的学习，你们觉得哪些题型宜用反证法 ？,我来告诉你（经验之谈） （1）以否定性判断作为结论的命题；（2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；（3）关于“唯一性”结论的命题；,注意:用反证法证题时,应注意的事项 :（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。,反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，英国近代数学家哈代这样赞美他：“归谬法（反证法）是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，他还要高明
7、。象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方。”,数学史上有很多经典证明（如质数有无限多个的证明）就采用了反证法。,求证： 是无理数。,例 2,-德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法，就象禁止拳击家使用拳头。,同学们，学了这节课，你们有何体会？,反思与收获,1、你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？,总结提炼,1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?,用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾等,反设 归谬 结论,2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?,推理,合情推理 演绎推理（归纳、类比） （三段论）,证明,直接证明 间接证明（分析法、综合法） （反证法）,数学公理化思想,
