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1、矩 阵 论 电 子 教 程,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,矩阵的分解,第 四 章,4.4 单纯矩阵的谱分解,定理1: 设 是一个 阶可对角化的矩阵，相异特征 值为 ，则 使得:,此式称为A的谱分解,且满足:,分析: 设 是 的代数重复度,则:,证明(1) 因为,所以:,证明(2),证明:(5) 假设A有谱分解 和,则由(3)知:,由于 ,所以:,同理可得:,所以, 唯一性得证,可对角化矩阵的谱分解步骤：（1）首先求出矩阵 的全部互异特征值 及每个特征值 所决定的线性无关特征向量,（3）令:,（2）写出,（4）最后写出,解: 首先求出矩阵 的特征值与特征向量。容易计算,从而 的特征值为,可以求
2、出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量:,于是,取,令,那么其谱分解表达式为,正规阵的谱分解:,其中 是矩阵 的特征值 所对应的单位特征向量。我们称上式为正规矩阵 的谱分解表达式。,设正规矩阵 有 个互异的特征值 ， 特征值 的代数重数为 ， 所对应的个两两正交的单位特征向量为 ,则 的谱分解表达式又可以写成,其中 ，并且显然有:,（6）满足上述性质的矩阵 是唯一的。我们称 为正交投影矩阵。,即对于正规阵,满足如下6条:,推论1 设 是一个 阶可对角化的矩阵， 谱分解为: ,若: 则有,解：首先求出矩阵 的特征值与特征向量。容易计算,从而 的特征值为,当 时，求得三个线性无关的特征向量为,当 时，求得一个线性无关的特征向量为将 正交化与单位化可得,将 单位化可得：,于是有,这样可得其谱分解表达式为,解：首先求出矩阵 的特征值与特征向量。,从而 的特征值为,可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量:,再将其单位化可得三个标准正交的特征向量,于是有:,这样可得其谱分解表达式为,Good,Bye,
