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1、1,小结,联合 分布函数,离散型连续型, 联合分布列 联合概率密度,X 与Y 的联合分布,2,题 某产品件,其中有件次品.每次从中抽取一件,不放回，抽取两次,分别以X、Y表示第一、二次取到的次品件数, 试求(X,Y)的分布律,(X,Y)的所有取值为(i, j), i, j = 0,1 由乘法公式有,解,3,二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有什么关系呢?,这一节里,我们就来探求这个问题 .,3.2 边缘分布,4,二维随机变量 (X,Y)作为一个整体,分别记为,一、边缘分布函数,说明,已知联合分布函数
2、,可以确定边缘分布函数.,5,边缘分布的几何意义：,FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区域内的概率； FY(y)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区域内的概率。,O x x,O x,y,y,y,6,解 (X,Y)关于X的边缘分布函数,二、二维离散型随机变量的边缘分布,二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为: PX=xi,Y=yj=pij (i, j=1,2,),则:,PX=xi=PX=xi,Y+,=pi,同理:,分别称pi (i=1,2,)和pj (j=1,2,)为X和Y的边缘分布律,另有:,=pj,FY (y)= F(+,y),FX (x)= F(x,+),点
3、表示 pij 对于该点所在位置的变量求和,9,例1 设(X,Y)的分布律如下:,求 X和Y的边缘分布律,解:,X的边缘分布律:, i=0, i=1, i=2, j=0, j=1,Y的边缘分布律:,pi=,pj=,或直接在表格上:,1/2 7/24 5/24,13/2411/24,13,FX ( x ) = F(x, +),X 和Y 的联合分布函数为F(x,y ),则(X,Y )关于X 的边缘分布函数为,(X,Y) 关于Y 的边缘分布函数为,三、连续型二维随机变量的边缘概率密度,(X,Y )关于Y 的边缘概率密度为,则(X,Y )关于X 的边缘概率密度为,例2 设随机变量(X,Y)的概率密度为,
4、求: X和Y的边缘概率密度,解:,0 ,其它,=,0 x1,=,0 ,其它,0y2,在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度是分段函数时，在计算积分时应特别注意积分限 .,16,题 设(X,Y )的概率密度是,解,求边缘密度.,分段函数积分应注意其表达式,y = x,y = x2,17,例3,设(X,Y )服从椭圆域 上的均匀分布,求,(1) 求(X,Y )的边缘密度函数,解 (1),由题知(X,Y )的概率密度为,同理可得,(2),(2) ,其中A为区域:,X 与Y 不服从均匀分布,二维均匀分布的两个边缘密度未必是均匀分布的,二维正态分布的边缘
5、密度仍服从正态分布,G,x+y =a,二维正态分布的边缘分布仍是正态分布,例4 设(X,Y)服从二维正态分布,其概率密度为:,求: X和Y的边缘概率密度,x+, y+,解:,令,得:,同理,得:,可见, (X,Y)N(1,2,12,22,),XN(1 ,12), YN(2 ,22),21,说明,对于确定的1,2,1,2 ,当不同时，对应了不同的二维正态分布。,对这个现象的解释是:边缘概率密度只考虑了单个分量的情况,而未涉及X与Y之间的关系.,(X1 ,X2 )N(1,2, ,) X1 X2 (与参数无关),22,例5 若二维随机变量(X,Y)的概率密度为,求边缘密度函数,解,同理, ,二维正态分布性质,二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的,正态分布的联合分布未必是正态分布,但反之不真,23,X与Y之间的关系这个信息是包含在(X,Y)的联合概率密度函数之内的. 在下一章将指出,对于二维正态分布而言,参数正好刻画了X和Y之间关系的密切程度. 因此,仅由X和Y的边缘概率密度(或边缘分布), 一般不能确定(X,Y)的概率密度函数(或概率分布),
