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1、反证法,教学目的：,教学重点：,教学难点：,1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.,反证法证题的步骤 .,理解反证法的推理依据及方法.,二、重难点讲解,1.两个互为逆否的命题是等价命题。,这种从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法,2.反证法,二、重难点讲解,4.反证法的一般步骤：,假设结论不成立，即假设结论的反面成立；,从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；,由矛盾判定假设不正确，从而结论正确。,也就是：反设、归谬、结论,二、重难点讲解,5.反证法适用范围：,（1）结论是否定形式的
2、命题；,（2）结论是以至多、至少、唯一等形式给出的命题；,（3）结论的反面是较明显或较易证明的命题；,（4）用直接法证明困难的命题.,三、例题讲解,例1 用反证法证明：直线a、b、c是平面上不重合的 三条直线，若ab，c与a相交，则c与b相交。,证明：,假设c与b不相交，,ab,ac,这与已知c与a相交矛盾, c与b相交。,a,c,b,则cb,前提条件：a、b、c是平面上不重合的三条直线，,题设条件：ab，c与a相交，,命题结论：c与b相交,分析：,三、例题讲解,例2 已知x、y、z是整数，且x2+y2=z2,证明：,设x、y、z都是奇数，,x2+y2为偶数, x2+y2z2,这与已知矛盾,
3、x、y、z不可能都是奇数。,则x2、y2、z2都是奇数,求证：x、y、z不可能都是奇数。,(条件),(结论),例3 用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.,已知：如图，在圆O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.,求证：弦AB 、CD不被P平分,证明：,假设弦AB 、CD被P平分，,P点一定不是圆心O，连接OP，,有,OPAB, OPCD,根据垂径定理的推论，,即 过点P有两条直线与OP都垂直，,这与垂线性质矛盾，,弦AB、CD不被P平分.,例4 若三个方程x2+4mx-4m+3=0；x2+(m-1)x+m2=0；x2+2mx-2m=0至少有一个方程有实数根，求实数m的取
4、值范围。,解：,当三个方程都没有实根时，,有,即,得, -3/2m-1, 上述三个方程至少有一个方程有实根的m的范围应为：,m-1或m-3/2,三、例题讲解,四、练习,1.结论“至多有两个解”的否定形式是_,2.用反证法证明：在ABC中，若C是直角，则B一定是锐角. 有一个同学的证明如下，你认为是否正确.,A.没有解 B.没有解或至少有三个解,C.至少有三个解 D.至少有两个解,证明：假设B是直角，C是直角B+C=180 A+B+C180，这与三角形内角和定理矛盾， B一定是锐角。,四、练习,3.已知a、bR，若a+b1， 求证：a、b之中至少有一个大于,证明：,假设a、b都小于等于,即,则 a+b1,这与条件a+b1矛盾, a、b之中至少有一个大于,推出矛盾可能出现以下三种情况:与原命题中的条件矛盾(如例1)与假设矛盾(如例3)与已知公理或定理矛盾(如例2),反证法证明的一般步骤:(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立.(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.(3)由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题结论正确.,小结:,
