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1、牛顿,莱布尼兹,两人同时创立了微积分,导数及其应用,3.1.1变化率问题,研究某个变量相对于另一个变量变化,导数研究的问题,的快慢程度,变化率问题,第一次,第二次,0.62dm,0.16dm,问题一:气球膨胀率,气球的平均膨胀率为,气球的平均膨胀率为,当气球的空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？,思考,在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系,如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:,在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,问题二:高台跳水,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思
2、考下面的问题:,(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态.,探究,式子,平均变化率的定义,若设x=x2-x1, y=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为,这里x看作是相对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同理 y=f(x2)-f(x1),yx,=,f(x2) - f(x1) x2 x1,=,称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.,思考?,观察函数f(x)的图象平均变化率 表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-
3、f(x1)=y,直线AB的斜率,例1、已知函数 ，分别计算 在下列区间上 的平均变化率：,（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1,4,3,2.1,例题讲解,例2.求函数y=5x2+6在区间2，2+x 内的平均变化率。,解 y=5(2+ x)2+6-(522+6) =20 x+5x2,所以平均变化率为,例题讲解,1. 一质点运动的方程为s=12t2，则在一段时间1，2内的平均速度为（） A4 B8 C 6 D6,C,课堂练习,2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+x时，函数的改变量为（） Af(x0+x)B f(x0)+x Cf(x0 ) x Df(x0+x) f(x0),D
4、,3. 已知f(x)=2x2+1 (1)求: 其从x1到x2的平均变化率； (2)求: 其从x0到x0+x的平均变化率， 并求x0=1, x= 时的平均变化率。,（1）2(x1+x2),（2）4x0+2x,5,课堂练习,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:,3.函数的平均变化率的几何意义：,(1)求函数的改变量：f；,(2)计算平均变化率,表示函数图象上两点A(x1,f(x1), B(x2,f(x2)连线（割线）的斜率。,在高台跳水中，函数关系 h=-4.9t2+6.5t+10,如何求2时的瞬时速度？,瞬时速度：物体在某一时刻的速度,3.1.2 导数的概念,当t = 0
5、.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,瞬时速度,（在局部）先求平均速度，然后取极限。,如何求瞬时速度？,lim是什么意思？,在其下面的条件下求右面的极限值。,运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示?,思考,、函数的平均变化率怎么表示？,思考,导数的定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导
6、数, 记作,或 ,导数的作用：,在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；,在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率,导数可以描绘任何事物的瞬时变化率,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本步骤是:,注意：x可正也可负.,一差、二比、三极限,例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,例题讲解,例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,例题讲解,例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-
7、1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,例题讲解,例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,例题讲解,练习,计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。,这说明:在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。,练习：,小结：,1求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量s=s(t+t)-s(t) (2)求平均速度（3）求极限,2由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2) 求平均变化率（3）求极限,一、复习,1、导数的定义,其中：,其几何意义是 表示曲线上两
8、点连线（就是曲线的割线）的斜率。,其几何意义是？,3.1.3导数的几何意义,P,Pn,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,（曲线在某一点处）切线的定义,当点Pn沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.,通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。,此处切线的定义与以前的定义有何不同？,思考,M,x,y,割线与切线的斜率有何关系呢？,即：当x0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，,探究,函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义
9、，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是 .,故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:,结论,Q2,Q3,Q4,T,继续观察图像的运动过程，还有什么发现？,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要
10、根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.,（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.,例题讲解,例2:如图,已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,h,t,o,函数的导函数,函数在点 处的导数 、导函数 、导数 之间的区别与联系。1）函数在一点
11、处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。,练：设f(x)为可导函数,且满足条件 , 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.,故所求的斜率为-2.,巩固提高,课堂练习:如图（见课本P80.A6）已知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状。P80.B2：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；（2）汽车在笔直的公路
12、上不断加速行驶；（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；,练习:,思考： 物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间2,2.1上的平均速度； (2) 物体在时间区间2,2.01上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.,分析:,解:,(1)将 t=0.1代入上式，得:,(2)将 t=0.01代入上式，得:,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：f=y=f(x2)-f(x1)f（x1x）f(x1);(2)计算平均变化率,3.函数的平均变化率的几何意义： 表示函数图象上两点A(x1,f(x1), B(x2,f(x2)连线（割线）的斜率。,4.函数在x=x0的瞬时变化率,
