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1、1,读书患不多，思义患不明。患足己不学，既学患不行。,2,1.4 古典概型与几何概型, 古典概型, 几何概型,3,预备知识, 排列与组合知识,排列：从 个不同元素中任取 个元素排成一列（考虑元素先后出现次序，且取后不放回），称此为一个排列，此种排列的总数为,n,n-1,n-2,n-k+1, 当 时，则称为全排列，全排列的总数为,4,预备知识, 重复排列：从 个不同元素中每次任取一个，放回后再取下一个，如此连续取 次所得的排列称为重复排列，,n,n,n,n,此种重复排列数共有 个，,这里 可以大于 。,5,预备知识,组合：从 个不同元素中任取 个元素并成一组（不考虑元素先后出现次序），称为一个组
2、合，此种组合的总数为,易知：,6,乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有 种方法,第二步有 种方法，则完成这件事共有 种方法。（也可推广到分若干步）,7,加法原理：设完成一件事有两种途径，第一种途径有 种方法,第种途径有 种方法，则完成这件事共有 种方法。（也可推广到分若干途径）,注：这两个原理的思想贯穿着整个概率问题的求解。,8,怎样计算古典概型中事件的概率？,若随机试验具有以下两个特点：, 在一次试验中，每个样本点出现的可能性相同，,古典概型, 其样本空间 只含有限个样本点，,又称等可能概型。,即,即,9,设 是上述古典概型的任一事件，,其含有 个样本点，即,故,10,例：抛两枚硬币，观
3、察正反面出现的情况，求出现一个正面一个反面的概率。,例：一家庭有两个孩子，求一个男孩一个女孩的概率。,正正，正反，反正，反反,一个正面一个反面,正反，反正,解：由题,又设,则,11,古典概型的基本模型,一、摸球模型, 无放回摸球,样本空间 包含,解：由题，,又设,个样本点，,取到 只白球,则 中含有,个样本点，,故,12,样本空间 包含,解：由题，由于考虑到了取球的次序，,又设,个样本点，,最后一次摸到白球,则 中含有,个样本点，,故,【抓阄原理】,13,问题1 设袋中有4只白球和2只黑球, 现从袋中无放回地一次同时摸出2只球,求这2只球都是白球的概率。,问题2 设袋中有4只白球和2只黑球,
4、现从袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率。,【组合问题】,【排列问题】,14, 有放回摸球,样本空间 包含,解：由题，,又设,个样本点，,则 中含有,个样本点，,故,前 次取到白球，后 次取到红球,15,二、分球入盒模型,【分房模型】,例 ：将 只球随机地放入 个盒子中去，假设盒子的容量不限，试求下列事件的概率：（1） 每个盒子至多有一只球 ；（2） 某指定的 个盒子中各有一球 ；（3） 恰有 个盒子中各有一球 ；（4） 某指定的盒子中有 个球 。,16,样本空间 包含,解：由题，,个样本点，,而 中含有,个样本点，,故,中含有,个样本点，,故,中含有,个样本点，,故,中含有,
5、个样本点，,故,每个盒子至多有一只球,某指定的 个盒子中各有一球,恰有 个盒子中各有一球,某指定的盒子中有 个球,17,1o 生日问题 假设一年有365天，参加某次聚会共 个人, 求至少有两人生日相同的概率？,样本空间 包含,解：由题，,又设,个样本点，,至少有两个人生日相同,则,每天至多有一个人生日,只球，,个人,天,个盒子，,分析：,从而,每个盒子至多有一只球,18,2o 电话号码问题 在7位数的电话号码中，第一位不能为0，求数字0出现3次的概率。,3o 骰子问题 掷3颗均匀骰子，求点数之和为4的概率。,19,例：在1到2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被
6、8整除的概率是多少 ?,三、随机取数模型,样本空间 包含,解：由题，,设,个样本点，,取到的数能被6整除,则所求为,取到的数能被8整除,20,由于,故,同理,故,进而,21,练习题：从0，1，2，9共十个数中随机取4个，求下列事件的概率： （1） 4个数中不含1和8 （2） 4个数中既含1也含8 （3） 4个数中不含1或8,22,注记,在实际应用中，概率非常接近 1 的事件可近似地看成必然事件，称为几乎必然事件。,概率非常小的事件，称为小概率事件。,统计推断原理:,小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的。,下面的例题就是可利用该统计推断原理对某种假设作出判断（接受或拒绝），这在数理统计的假设
7、检验中是非常有用的。,23,例：某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的？ （假设来访者在一周的任一天去接待站是等可能的）,假设接待站的接待时间没有规定，且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的。,解：,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,故一周内接待 12 次来访共有,24,小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的。,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,25,计算古典概率的基本思
8、路,理解题意：分析随机试验的基本事件，构造尽可能简单的等可能的样本空间，特别是不同方法求解时，必须在同一样本空间中进行计算；,设好事件: 一般在理解题意前提下，设出一些简单事件，使其它复杂事件能利用简单事件的关系与运算表达出来；,正确计数：计算样本点总数基本事件总数和事件所含样本点总数有利场合数，避免计数的重复或遗漏。常用到排列、组合、乘法原理和加法原理等知识。,26,利用公式：常用古典概率计算公式、对立事件概率公式、加法公式、全概公式、贝叶斯公式、乘法公式等。,注意模型：解题时注意模型化，抓住问题本质。,27,例：某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选
9、一点进行钻探，问能够发现石油的概率是多少？,古典概型的特点：,基本事件的等可能性,有限个样本点,28,几何概型,若随机试验具有如下特点：,则称这种试验为几何概型。,量成正比，而与该区域的位置和形状无关；, 随机试验的样本空间 为可度量的几何区域；, 中任一区域出现的可能性大小与该区域的几何度,对于几何概型，若事件 是 中某一区域，且,可度量，则事件 的概率为,29, 如果样本空间为有界区间、平面有界区域、空间有界区域，则其几何度量指的就是“长度”、“面积”、“体积”。, 事件 发生的概率与位置无关,只与 的度量有关，这体现了某种“等可能性”；,注：, 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归
10、结为几何概型；,30,例：(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面的概率。,设两人到达约会地点的时刻分别为,解：由题，,则显然有,且,两人能够会面,又设,31,故,32,例：随机地从区间 里取两个数，求下列事件的概率： 两数之和小于 ； 两数之和小于 ，且两数之积大于 。,33,问题：商场以转盘游戏方式对某商品打折促销，当指针指向圆周上 段时，打一折，在以下两种情况下分别求打一折的概率是多少？,(1) 如果在转盘上， 段缩小为一点，那么打一折的概率是多少？,打一折,不可能事件的概率一定为 0；概率为 0 的事件不一定是不可能事件。,34,(2) 如果在转盘上， 段扩大为圆周上除一点外剩下部分，那么打一折的概率是多少？,打一折,必然事件的概率一定为 1；概率为 1 的事件不一定是必然事件。,35,练习题：若事件 与 同时出现的概率 ，则（ ）,和 不相容,是不可能事件,未必是不可能事件,或,36,1. 古典概型,2. 几何概型,37,课本,
