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1、随机变量函数的分布,复习,例1 设(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。,=5c/24=1,c =24/5,解：(1),例1 设(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .,注意积分限,注意取值范围,例1 设(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .,注意积分限,注意取值范围,即,解：,0 x1,0y1,由于存在面积不为0的区域，,故X和Y不独立 .,为了解决类似的问题下面我们讨论多维随机变量函数的分布.,问题,一、二维离散型随机变量的函数的分布,设(X，Y)是二维离散型随机变量，则
2、Z=X+Y的分布也是一 个随机变量。下面讨论其分布。,设(X，Y)的联合分布律为 PX=xi，Y=yj =pij，i， j = 1，2，,则Z=X+Y的可能取值zk=xi+yj (k=1，2，)，因此Z也是离散型随机变量, 其分布律为,（求和是对一切使xi+yj=zk的i、 j 来作）,特别，若X与Y相互独立, 则,类似地，可讨论其它情形。,例1 设二维随机变量(X，Y)的联合分布律如下表所示。,试求Z1=X+Y；Z2=XY；Z3=maxX, Y的分布律。,-1 1 2,-12,0.25 0.1 0.3,0.15 0.15 0.05,解 先列出如下表格,(-1, -1) (-1, 1) (-1
3、, 2) (2, -1) (2, 1) (2, 2),Z1=X+Y,Z2=XY,Z3=maxX, Y,0.25 0.1 0.3 0.15 0.15 0.05,-2 0 1 1 3 4,1 -1 -2 -2 2 4,-1 1 2 2 2 2,因此， Z1=X+Y的分布律为,-2 0 1 3 4,0.25 0.1 0.45 0.15 0.05,Z2=XY的分布律为,-2 -1 1 2 4,0.45 0.1 0.25 0.15 0.05,Z3=maxX+Y的分布律为,-1 1 2,0.25 0.1 0.65,例2 已知随机X、Y相互独立，且XP(1) 、Y P(2)。试求Z=X+Y的分布律。,解 因
4、X与Y均服从泊松分布，所以X与Y的取值为任一非负整数，因此Z=X+Y的取值也为全体非负整数。由概率的运算法则知，对一任非负整数k，有,即X+YP(1+2)。 该结论也称为泊松分布的可加性。,例3 假设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且同分布PXi=0=0.6, PXi=1=0.4 (i=1,2,3,4)。,(1)求行列式 的概率分布；,(2)线性方程组 只有零解的概率。,解：(1)记Y1=X1X4，Y2=X2X3，则=Y1-Y2，且Y1和Y2独立同分布：,随机变量Z=Y1-Y2有三个可能值：-1，0，1。,于是行列式 Z 的概率分布为,(2)线性方程组只有零解，也就是Z0，故有,二、二
5、维连续型随机变量的函数的分布,设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)，则Z=X+Y的分布函数为,这里积分区域G：x+yz是直线x+y=z的左下方半平面。如下图,1、和的分布：Z=X+Y,作变量代换 y=u-x 得,Why?,例4 设X，Y是相互独立的服从标准正态分布N(0, 1)的随机变量。求Z=X+Y的概率密度。,解 由于,即ZN(0，2),一般来说，若Xi(i=1, 2, ，n)是n个相互独立的服从 N(i ，i2) 分布的随机变量，则 仍然是一个服从正态分布N( ,2)的随机变量，且其参数为,这个事实，也称正态分布具有可加性。,例5 设随机变量X与Y相互独立，且都服
6、从 (-a，a)(a0)上的均匀分布。试求它们的和Z=X+Y的概率密度。,解 X与Y的概率密度分别为,显然仅当,上述积分不等于零 。,因此，当0z2a时，,当-2az0时，,所得到的分布称做辛卜生(Simpson)分布或称做三角分布，其概率密度曲线如图。,则有,2、M=max(X，Y)及N=min(X，Y)的分布,故有,推广,例6,解,例7 设X1，X2，Xn相互独立，且都服从(0，1)上的均匀分布，试求U=max(X1，X2，Xn )及V=min( X1，X2，Xn )的密度函数。,解 因为相应于（0，1）上均匀分布的分布函数为,因此U的分布函数为,故U的概率密度为,而V的分布函数为,故V的
7、概率密度为,小结,1. 离散型随机变量函数的分布律,2. 连续型随机变量函数的分布,一、重点与难点,二、主要内容,三、典型例题,第三章多维随机变量及其分布习 题 课,一、重点与难点,1.重点,二维随机变量的分布,有关概率的计算和随机变量的独立性,2.难点,条件概率分布,随机变量函数的分布,定 义,联 合 分 布 函 数,联 合 分 布 律,联 合 概 率 密 度,边 缘 分 布,条 件 分 布,两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布,随 机 变 量 的 相 互 独 立 性,定义,性质,二维随机变量,推 广,二、主要内容,二维随机变量,(1) 定义,二维随机变量的分布函数,且有,(2)
8、性质,(3) n 维随机变量的概念,二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为:,二维离散型随机变量的分布律,离散型随机变量 ( X,Y ) 的分布函数为,二维连续型随机变量的概率密度,(1) 定义,(2) 性质,表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,(3) 说明,(4) 两个常用的分布,设 D 是平面上的有界区域, 其面积为 A , 若二维随机变量 ( X, Y ) 具有概率密度,则称( X,Y )在D上服从均匀分布.,若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.,边缘分布函数,为随机变量 ( X,Y
9、) 关于 Y 的边缘分布函数.,离散型随机变量的边缘分布,随机变量关于X 和 Y 的边缘分布函数分别为,联合分布,边缘分布,连续型随机变量的边缘分布,同理得 Y 的边缘概率密度,(1) 离散型随机变量的条件分布,随机变量的条件分布,同理可定义,(2) 连续型随机变量的条件分布,联合分布、边缘分布、条件分布的关系,联合分布,随机变量的相互独立性,说明,(1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,二维随机变量的推广,其它依次类推.,(5) 随机变量相互独立的定义的推广,随机变量函数的分布,(1)离散型随机变量函数的分布,当 X, Y 独立时,(2)连续型随机变量函数的分布,则有,推广,
10、三、典型例题,例1,解,例2,解,故得,从而有:,因此,求证: 随机变量X没有数学期望.,证 由定义, 数学期望应为,由微积分学可知, 右边的级数发散. 因此, 随机变量X 没有数学期望.,设随机变量X的分布律为,备用题例 8-1,解,由于,例8-2 (柯西分布) 设随机变量X服从柯西分布, 求EX.,因X服从柯西分布, 则其密度函数为,因而其数学期望E(X)不存在.,游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,例9-1,解,已知X在0,60上服从均匀分布, 其密度为,电梯于每个正点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行. 假设在早上的8点的第X分钟到达底层候梯处, 且X在0,60上服从均匀分布求游客等候时间的数学期望. （考研试题）,设Y是游客等候电梯的时间(单位:分), 则,因此, 11.67,解,例 9-2,设随机变量X的分布密度函数为,试求 . (考研试题),解,例 9-3,（报童问题）设某报童每日的潜在卖报数,若记真正卖报数为Y, 则Y与X的关系如下：,X服从参数为的泊松分布. 如果每卖出一份报可报酬a, 卖不掉而退回则每份赔偿b, 若某报童买进n份报, 试求其期望所得. 进一步, 再求最佳的卖报份数.,因此期望所得为,记所得为Z, 则Z与Y的关系如下:,则Y的分布为,当a, b, 给定后, 求n使Mn达到极大.,利用软件包求得计算结果如下:,再见,
