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可降阶的高阶微分方程,第五节,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,第十二章,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,例1,解,所以,(方法1),(方法2),型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,二、,例2,解,可分离变量方程,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,例4 求解,代入方程得,两端积分得,一阶齐次线性方程,故所求通解为,解,内容小结,可降阶微分方程的解法, 降阶法,逐次积分,令,令,思考题,1. 方程,如何代换求解 ?,答: 令,或,一般说, 用前者方便些.,均可.,有时用后者方便 .,例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?,答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.,(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.,综合题,解,(方法1),证,(方法2),备用题例1-1,解,例2-2 求解,解,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,例4-4 解初值问题,解 令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,
