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1、1,高等数学,第二十讲,2,第十一章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,3,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,第十一章,二、对弧长的曲线积分的应用,4,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,可得,为计算此构件的质量,1.引例: 曲线形构件的质量,采用,5,设 是空间中一条有限长的光滑曲
2、线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 的任意分割,局部的任意取点,2.定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，, 称为积分弧段 .,曲线形构件的质量,和对,6,如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,如果 L 是闭曲线 , 则记为,则定义对弧长的曲线,积分为,思考:,(1) 若在 L 上 f (x, y)1,(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?,否!,对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中,dx 可能为负.,此为一种新的和式极限。,定积分：,线积分：,不是定积分。,7,3. 性质,（k 为常数),
3、( 由 组成),( l 为曲线弧 的长度),由定义可知：此曲线积分不论积分弧段的方向如何，,总取正值，定义中右端的和式极限不变，则有：,换向不变号,8,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分且,求曲线积分,说明:,因此积分限必须满足,(2) 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,9,小弧段的求法：,曲线：,10,则,则,如果方程为极坐标形式:,11,极坐标：,12,则,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,13,例1. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),14,解,例
4、2.,15,例3. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,16,例4. 计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,17,例5. 计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,18,例6：计算：,L 为图示三角形周界。,解：,19,例7：计算,其中曲线 L 为单位圆从点,A(0,1)沿顺时针方向到点,解法1,20,解法2,例7：计算,其中曲线 L 为单位圆从点,A(0,1)沿顺时针方向到点,21,例7：计算,其中曲线 L 为单位圆从点,A(0,1)沿顺时针方向到点,解法3,22,例8：计算,L 由,解：,23,例8：计算,L 由,24,例9. 计算,
5、其中为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知,25,例10,已知椭圆,周长为a , 求,提示:,原式 =,利用对称性,分析:,26,例11,计算,其中L为上半圆周,解:,27,三、几何与物理意义,28,29,例1. 计算半径为 R ,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).,解: 建立坐标系如图,有对称性则,30,截下部分的面积 A 。,解：,如图所示，先作柱面,例2：求由抛物柱面,31,例3：已知曲杆方程为,其上各点的,密度,求 1、曲杆的长 S . 2、质量 M .,3、质心,4、曲杆的转动惯量,解：,32,例4 设均匀螺旋形弹簧L的方程为,(1) 求它关于 z 轴的转动惯量,(2) 求它的形心 .,解: 设其密度为 (常数).,(2) L的长度,由对称性,(1),故形心坐标为,33,内容小结,1. 定义,2. 性质,( l 曲线弧 的长度),34,3. 计算, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,
