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1、1,高等数学,第三十三讲,2,一阶微分方程的,习题课 (一),一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,解法及应用,第七章,3,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,4,例1. 求下列方程的通解:,将方程改写为,(贝努里方程),解,通解,5,方法 1 这是一个齐次方程 .,方法 2 化为微分形式,故这是一个全微分方程 .,6,例2.,设F(x
2、)f (x) g(x), 其中函数 f (x), g(x) 在(,+),内满足以下条件:,(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;,(03考研),(2) 求出F(x) 的表达式 .,解: (1),所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:,7,(2) 由一阶线性微分方程解的公式得,于是,例2.,设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f (x), g(x) 在(,+),内满足以下条件:,8,练习题:,P353 题2 求以,为通解的微分方程.,提示:,消去 C 得,P353 题3 求下列微分方程的通解:,提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :,提示: 原式：,9,提示:
3、 可化为关于 x 的一阶线性方程,提示: 为贝努里方程 , 令,提示: 为全微分方程 , 通解,微分倒推公式,10,练习题:,P354 题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .,提示: 设曲线 y =f (x)上的动点为 M (x,y),令 X = 0, 得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,切线上的动点为 ( X,Y ),11,二阶微分方程的,习题课 (二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第七章,12,一、两类二阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,
4、逐次积分求解,13,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,14,解答提示,P353 题2 求以,为通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P352 题3 求下列微分方程的通解,提示: 令,则方程变为,15,P354 题4(2) 求解,提示: 令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时正负号如何确定?,16,解,特征方程,对应的齐次方程的通解为,例1,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,设原方程的特解为,17,故原方程的通解为,例1,由,解得,所以原方程满足初始条件的
5、特解为,18,例2 : 设,提示: 对积分换元 ,则有,解初值问题:,答案:,19,例3：设 f (x) 具有二阶连续导数,且,为一全微分方程，,求此微分方程的通解。,解,令,解得,令特解,20,利用,通解,21,例4,有特,而对应齐次方程有解,及微分方程的通解 .,解: 将,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,22,故,再积分得通解,复习: 一阶线性微分方程通解公式,23,例5,(1) 验证函数,满足微分方程,(2) 利用(1)的结果求幂级数,的和.,解: (1),(02考研),24,所以,(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足,其特征方程:,特征根:,齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,代入原方程得,故非齐次方程通解为,25,代入初始条件可得,故所求级数的和,
