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1、1.5、向量函数的积分,1、体积分 设D是R3中的一个体积元V， 在V中定义的函数。 定义（体积分）：设 是V的一个分割， ，任取点 ，作和式：当 时，若和式的极限存在，且与V的划分与 的选取无关，则称这个极限为 在V上的积分，记做,在R3空间， 可以表示为：,则：,体积分的计算规则：,(1) 设 为常向量， 为数量函数，则：,(2) 设 为常向量， 为向量函数，则：,(3) 设 为常向量， 为向量函数，则：,例1：设V是平面 和三个坐标平面x=0,y=0 z=0所围的区域，求 在V上的体积分。,解： 如图表示，则：,分别计算三个分量的积分，首先：,同理：,最后得：,2、曲面积分 设D是R3中
2、的一块简单、分块光滑的空间有向曲面 ，我们可以定义 沿 一侧的积分。 定义(曲面积分)：设 在空间曲面 上有定义， 为 的任意一个分割，记 ，任取点 ，作和式：当 时，若和式的极限存在，且与 的划分与 的选取无关，则称这个极限为 在 上的积分，记做,在R3空间， 可以表示为：,若 的法向量的单位向量为：,则：,所以：,例2：设 是平面 和三个坐标平面 所围的闭曲面，求 沿 的外侧的曲面 积分。,解： 如图表示， 是分别表示三角形 OAB,OBC,OCA所围平面， 代表ABC的 所围三角形，则：,对于 ，z=0，dz=0，则：,同理：,对于 ，则：,而：,所以：,同理：,最后得：,例3：设 是球
3、面 ，求 沿球面外侧的积分。,解：对于球面来说，其任意点 的法向分量为 所以，沿球面外侧的积分为：,3、曲线积分 设l是R3中的一条简单、分段光滑的空间有向曲线 ，我们可以定义 在曲线 上的积分。 定义(曲线积分)：设 为空间内由点A到点B的一条有向光滑曲线，任取分段点 ，把 分成n个有向线段，定义 ，记 ，任取点 ，作和当 ，和式的极限存在且和曲线的划分与 的选取无关，则称这个极限为 沿曲线 的曲线积分，记作,在R3空间， 可以表示为：,若 的法向量的单位向量为：,则：,所以：,例4：设 为平面 与三个坐标平面的交线所围的 闭曲线，曲线方向如图所示，求函数 沿曲线正向的积分。,解： 由 围成
4、，,同理：,最后得：,对于 ，z=0，dz=0，则：,4、Gauss公式和Stokes公式,Gauss公式：设空间曲面 是分片光滑的双侧闭曲面，其内部区域记为 ，设函数 在 和 上连续，在 内具有一阶偏导数，则：,Stokes公式：设空间曲面 是光滑的有界曲面，其边界l是一条分段光滑的闭曲线，设函数 在 和l上连续，在 上具有一阶偏导数，则：,总 结,1、体积分 体积分的定义 体积分公式：2、面积分,3、线积分 4、Gauss公式和Stokes公式,作业：(1) 设l为正向圆周 ，向量 ，求积分,(2) 设运动路径 ，端点 ，求质量 为m的物体由A运动到B重力所作的功(z轴方向为垂直向上)。,
