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1、第四章 第二讲,一、向量的内积与向量组的正交化二、矩阵对角化,定义1,1、内积的定义及性质,一、向量的内积与向量组的正交化,内积的运算性质,定义2,令,向量的长度具有下述性质：,2、向量的长度及性质,4).柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式:,解,正交的概念,正交,正交向量组的概念,若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组,3、正交向量组的概念及求法,证明,正交向量组的性质,向量空间的正交基,规范正交基（标准正交基）,例如,求规范正交基的方法,（1）正交化，取 ，,施密特正交化过程,（2）单位化，取,解 先正交化，,取,再单位化，,得规范正交向量组如下,例,解,
2、再把它们单位化，取,例,解,把基础解系正交化，即合所求亦即取,证明,定义4,4、正交矩阵与正交变换,例如，验证矩阵 是正交矩阵。,性质 正交变换保持向量的长度不变,证明,例 判别下列矩阵是否为正交阵,定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换,解,所以它不是正交矩阵,（1）考察矩阵的第一列和第二列，,由于,所以它是正交矩阵,由于,1、相似矩阵与相似变换概念,二 矩阵对角化,2、相似矩阵的性质,(4).相似矩阵具有相同的秩和行列式.,(5).若两个相似矩阵可逆，则它们的逆也相似.,(6).相似矩阵具有相同的特征多项式和特征值.,证明,问题：是否任何一个方阵都相似于一个对角矩阵呢?,3、利用相
3、似变换将方阵对角化,证明,命题得证.,说明,推论:如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似,若A的特征方程有重根,此时不一定有n个线性无关的特征向量,从而矩阵A不一定能对角化,但如果能找到n个线性无关的特征向量,还是能对角化,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,解之得基础解系,求得基础解系,解之得基础解系,故A 不能化为对角矩阵.,例2,解,A能否对角化？,解之得基础解系,所以A可对角化.,得方程组的基础解系,注意,即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应,小 结,1相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质,相似变换与相似变换矩阵,这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算,相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵P 称为进行这一变换的相似变换矩阵,思考题,思考题解答,
