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1、二重积分的概念及计算,主要内容：,二重积分的定义。二重积分的性质。直角坐标系下二重积分的计算。,一、二重积分的概念,1.曲顶柱体体积,曲顶柱体的体积可以这样来计算:,设z = f (x, y) 是定义在可求面积的有界闭区域D上的非负连续函数。,称以曲面 z = f (x, y)为顶，,xy面上的区域D为底，,以通过区域D的边界且平行于z轴的柱面为侧面的柱体为曲顶柱体。,用任意平行于坐标轴的直线网将区域 M分成n个小区域i ,以i表示第i个小区域i的面积。,则直线网把所求的曲顶柱体分成 n个小的曲顶柱体，,在 i内任取一点(i,i)，,以 f (i,i)为高的小平顶柱体体积为 f (i,i) i
2、 ，,当 i的直径足够小，,即分割无限细时，,f (i,i) i就近似等于以 i为底的小曲顶柱体的体积。,从而有：,如右图所示：,令=maxdi | di为i的直径，,0时，,其极限值就是曲顶柱体体积 ，,即,此类和式极限问题在物理学和工程技术中经常遇到，,称为二重积分问题。,下面给出二重积分定义：,2.二重积分的定义,即,设z = f (x, y)是有界闭区域D上的二元函数,将区域D 任意分成个n小区域(简称子域)i ，,以i 表示第i个子域i面积。,在每个i上任取一点(i ,i)，,作和式 。,如果当各子域的直径中的最大值趋于零时，,此和式的极限存在，,则称此极限为函数 z = f (x,
3、 y)在闭区域D上的二重积分，,记作 ，,叫做积分和。,其中 z = f (x, y)叫做被积函数,f (x, y)d叫做被积表达式,d叫做面积元素,x与y叫做积分变量,D叫做积分区域,称为二重积分号,与被积函数和积分区域有关。,二重积分也可记为,有界闭区域上的连续函数一定可积。,注1:,二重积分与积分与区域D的分法无关，,与(i ,i)点取法无关，,注2：,注3：,二、二重积分的性质,(4) 如f (x, y)g (x, y)且都可积，,(5) 若 f (x, y)可积，则|f (x, y)|可积，,(其中是积分区域D的面积),(6)若f (x, y)在D上可积，,(7)二重积分的中值定理,
4、设函数 f (x, y)在闭区域D上连续,在圆域 1 x2 + y2 4 上根据中值定理有关系：,且m f (x, y) M，,则,则在D上至少存在一点(,),是 D的面积,使得,例如：,三 二重积分的计算方法,1.矩形区域上的二重积分,设f (x, y)在矩形区域 上是连续且可积，,解：,则有,= 43,2.一般区域的的二重积分：,(1)积分区域D为X型：,1(x),2(x)在区间a , b上连续。,则,(2)积分区域D为Y型：,1(y),2(y)在区间c , d上连续。,X型区域的特点：,穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：,穿过区域且平行于x轴的直线
5、与区域边界相交不多于两个交点.,然后利用积分区域可加性求之。,若积分区域D既不是X型区域，,又不是Y型区域，,则可把D分成几部分，,使每个部分是X型区域或是Y型区域 ，,解：,例5 计算 ，其中D是由直线 y = x , y = 1与 x = 0 所围成的区域。,解：,易求出由直线 y = x , y = 1与 x = 0交点坐标为A(1,1), B(0,1), C(0,0),若先对y积分，,显然 无法积分，,因此先对x积分,例6 计算 ，其中D是由直线 y = 2x , x = 2y 与y = 3 x所围成的区域 。,可将区域划分分两个子区域积分：,解：,改变积分 的次序。,解：,有时借助图形较方便。,补充例题,注意：,在化二重积分为二次积分时，,为了计算简便，,需要选择恰当的二次积分的次序。,这时，,即要考虑积分区域D的形状，,又要考虑被积函数z = f (x , y)的特性。,解决此类问题，,小结：,1.二重积分定义。,2.二重积分性质。,3.直角坐标系下二重积分的计算。,(1)矩形区域上的积分。,(2)X型区域上的积分。,(3)Y型区域上的积分。,
