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1、第三章 多维随机变量及其分布,例2：检查某大学的全体学生的身体状况,多个随机变量举例,3.1 二维随机变量及其分布,例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重 Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。,任务： 需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质， 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。,3.1.1 二维随机变量的定义、分布函数,定义3.1.1,设X、Y 为定义在同一样本空间上的随机变量，则称为上的一个二维随机变量。,向量（ X，Y ）,二维随机变量（X,Y）的几何意义,二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点,二维随机变量的联合分布函数,定义3.1.2,称为二维随机
2、变量的联合分布函数,若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数 x,y.,二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义,几何解释 ： F(x, y) 表示随机点(X ,Y )落在以(x,y )为顶点,且位于该点左下方的无穷矩形内的概率.,P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1),用联合分布函数F(x,y)表示矩形域概率,P（x1 X x2，y1 Y y2）,F(x2,y2),-F(x2,y1),-F(x1,y2),+F(x1,y1),二维随机变量的联合分布函数的性质,F(x,y)分别关于X和Y ., F(x,y)
3、 . F(x, )= ；F( ,y)= . F( , )= ；F(+ , + ) = .,F(x,y)分别关于X和Y .,单调不减；,0,1,0,0,0,1,右连续；,3.1.2 二维离散型随机变量,定义3.1.3,若二维 随机变量 （X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对， 则称（X，Y）为二维离散型随机变量。,（X，Y）的联合概率分布（分布律）,表达式形式,表格形式,PXxi ,Y=yjpij，i,j=1,2, ,Pij的性质,例题讲解,例1 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被取到的可能性相等.以、分别记第
4、一次和第二次取到的球上标有的数字， 求(X,Y)的联合分布律。,(X,Y)的可能取值为(1， 1),(1， 2), (2， 1), (2， 2).,PX1，Y1= PX1，Y2=PX2，Y1=PX2，Y2=,(1/3) (2/2)1/3，,(2/3) (1/2)1/3，,(2/3) (1/2)1/3，,0,1/3,1/3,1/3,0,(X,Y)的联合分布律,箱内装有12只开关，其中2只是次品，现从箱内随机抽取二次，每次取一只，取后不放回，求 (X,Y)的联合分布律。其中：,练一练,(X,Y)的联合分布律,例2.设随机变量 X 在 1,2,3 中等可能地取值,Y 在 1X 中等可能地取整数值,求
5、( X, Y )的分布列及F(2,2).,解,1/3,1/6,0,1 2 3,123,1/6,1/9,1/9,1/9,0,0,=+ =2/ 3,F ( x , y),= P ( X x , Y y),F ( 2 , 2),= P ( X 2, Y 2),例：(X,Y)的联合分布律如下：,求（1）k=?; (2) F(x,y)=?, + + +k=1,k =,0,3.1.3 二维连续型随机变量,定义3.1.4 (二元连续型随机变量),若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式,则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量
6、(X,Y)的联合概率密度函数.,二维连续型随机变量的联合概率密度的性质,（1）非负性,（2）正则性,（3）可导性,几何解释,=曲顶柱体的体积,（4）（X,Y)落在平面区域G上的概率,例题讲解,例1： 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度 求：系数A；F(x,y)；PX2,Y1; (4)P2X+3Y6,求：F(x,y)；,解(3): P X2, Y1,2,1,x2, y1,f(x,y) 0,3,2,2x+3y=6,解(4):,f(x,y) 0,二维均匀分布,设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,则称（X,Y)在D上服从均匀分布.,其中G是平面上的有界区域，其面积为SG,例题讲解,例1： 设二维随机变量（X,Y)在区域G上服从均匀分布，其中G是曲线 y=x2 和y=x 所围成的区域，则(X,Y)的联合概率密度fx,y=,例2、设随机变量（X，Y）在区域,上服从均匀分布，则,=,
