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1、2.4.3 导数与函数的零点及参数范围,-2-,判断、证明或讨论函数零点个数解题策略一应用单调性、零点存在性定理、数形结合判断例1设函数f(x)=e2x-aln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数;(2)证明当a0时,f(x)2a+aln .难点突破 (1)讨论f(x)零点的个数要依据f(x)的单调性,应用零点存在性定理进行判断.,-3-,(2)证明 由(1),可设f(x)在(0,+)的唯一零点为x0,当x(0,x0)时,f(x)0.故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,+)单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).,解题心得研究函数零点或方程根的
2、情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断函数零点或方程根的情况.,-4-,对点训练1已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.,(1)解 f(x)=3x2-6x+a,f(0)=a,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2,-5-,(2)证明 由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2,设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,由题设知1-k0.当x0时,g(x)=3x
3、2-6x+1-k0,g(x)单调递增,g(-1)=k-10时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增,所以g(x)h(x)h(2)=0,所以g(x)=0在(0,+)没有实根.综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.,-6-,解题策略二分类讨论法例2已知函数f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g
4、(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.难点突破 (1)设切点(x0,0),依题意f(x0)=0,f(x0)=0,得关于a,x0的方程组解之.(2)为确定出h(x)对自变量x0分类讨论;确定出h(x)后对参数a分类讨论h(x)零点的个数,h(x)零点的个数的确定要依据h(x)的单调性和零点存在性定理.,-7-,解 (1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f(x0)=0,(2)当x(1,+)时,g(x)=-ln x0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)无零点.,当x(0,1)时,g(x)=-ln x0.所以只需考虑f(x)在(0
5、,1)的零点个数.,-8-,()若a-3或a0,则f(x)=3x2+a在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单调.,所以当a-3时,f(x)在(0,1)有一个零点;当a0时,f(x)在(0,1)没有零点.,-9-,解题心得1.如果函数中没有参数,一阶导数求出函数的极值点,判断极值点大于0小于0的情况,进而判断函数零点的个数.2.如果函数中含有参数,往往一阶导数的正负不好判断,这时先对参数进行分类,再判断导数的符号,如果分类也不好判断,那么需要对一阶导函数进行求导,在判断二阶导数的正负时,也可能需要分类.,-10-,对点训练2已知函数f(x)=aln x+ -(a+1)x,aR.(1)当a=
6、-1时,求函数f(x)的最小值;(2)当a1时,讨论函数f(x)的零点个数.,解 (1)函数f(x)的定义域为x|x0.,所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.所以x=1时,函数f(x)取得最小值f(1)= .,-11-,则f(x)0,f(x)为增函数.所以f(x)在x=1时取得最小值f(1)=-a- .,由于x0(从右侧趋近0)时,f(x)+;x+时,f(x)+,所以f(x)有两个零点.,-12-,当00,f(x)为增函数;x(a,1)时,f(x)0,f(x)为增函数.所以f(x)在x=a处取极大值,f(x)在x=1处取极小值.,当0a1时,f(a)0,即在x(
7、0,1)时,f(x)0.而f(x)在x(1,+)时为增函数,且x+时,f(x)+,所以此时f(x)有一个零点.,-13-,所以f(x)为增函数.且x0(从右侧趋近于0)时,f(x)-;x+时,f(x)+.所以f(x)有一个零点.,-14-,已知零点个数求参数范围解题策略一最小值法,例3(2017内蒙古包头一模,文20)已知函数f(x)=ax+x2-xln a(a0,a1).(1)当a1时,求证:函数f(x)在(0,+)内单调递增;(2)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值.难点突破 (1)先求f(x)的导函数f(x),再证明f(x)0.(2)由题意当a0,a1时,f(x)=0有唯
8、一解x=0,y=|f(x)-t|-1有三个零点f(x)=t1有三个根,从而t-1=(f(x)min=f(0)=1,解得t即可.,-15-,(1)证明 f(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a.由于a1,故当x(0,+)时,ln a0,ax-10,所以f(x)0,故函数f(x)在(0,+)上单调递增.(2)解 当a0,a1时,f(x)=2x+(ax-1)ln a,f(x)=2+ax(ln a)20,f(x)在R上单调递增,因为f(0)=0,故f(x)=0有唯一解x=0.所以x,f(x),f(x)的变化情况如表所示:又函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,所以方程f(x
9、)=t1有三个根,而t+1t-1,所以t-1=f(x)min=f(0)=1,解得t=2.,-16-,解题心得在已知函数y=f(x)有几个零点求f(x)中参数t的值或范围问题,经常从f(x)中分离出参数t=g(x),然后用求导的方法求出g(x)的最值,再根据题意求出参数t的值或范围.,-17-,对点训练3已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(aR).(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在 上有两个零点,求实数m的取值范围.,切线的斜率k=f(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.,-18-,-19-,解题策略二
10、分类讨论法例4(2017吉林市三模,文20)已知函数f(x)= ,曲线y=f(x)在点(e2,f(e2)处的切线与直线2x+y=0垂直(其中e为自然对数的底数).(1)求f(x)的解析式及单调减区间;,对k讨论,运用单调性和函数零点存在定理,即可得到k的范围.,-20-,当k0时,h(x)0在x(0,1)(1,+)内恒成立,即h(x)在(0,1)内递减,在(1,+)内也单调递减.又h(1)=0,所以在(0,1)和(1,+)内也无零点,故满足条件.,-21-,若k=2,则h(x)在(0,1)内递减,在(1,+)内单调递增.又h(1)=0,所以x(0,1)(1,+)时,h(x)0恒成立,故无零点,
11、满足条件.,-22-,当k2时,h(e-k)0,综上可得,k的取值范围为k0或k=2.,解题心得在已知函数零点个数的情况下,求参数的范围问题,通常采用分类讨论法,依据题目中的函数解析式的构成,将参数分类,在参数的小范围内研究函数零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各个小范围并在一起,即为所求参数范围.,-23-,对点训练4已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.,解 (1)f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).()设a0,则当x(-,1)时,f(x)0.所以f(x)在(-,1)
12、单调递减,在(1,+)单调递增.()设a0,由f(x)=0得x=1或x=ln(-2a).,故当x(-,ln(-2a)(1,+)时,f(x)0;当x(ln(-2a),1)时,f(x)0.所以f(x)在(-,ln(-2a),(1,+)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.,-24-,故当x(-,1)(ln(-2a),+)时,f(x)0;当x(1,ln(-2a)时,f(x)0,则由(1)知,f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.,所以f(x)有两个零点.()设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点.,又当x1时f(x)0,故f(x)不存在两个零点;,-25-
13、,若a- ,则由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a)单调递减,在(ln(-2a),+)单调递增.又当x1时f(x)0,故f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+).,-26-,与函数零点有关的证明问题解题策略等价转换后构造函数证明例5设函数f(x)=x2-aln x,g(x)=(a-2)x.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点x1,x2,求满足条件的最小正整数a的值;,-27-,难点突破 (2)求出函数F(x)的导数,-28-,当a0时,f(x)0在(0,+)上恒成立,所以f(x)单调递增区间为(0,+),此时f(x)无单调减区间.
14、,(2)F(x)=x2-aln x-(a-2)x,-29-,所以存在a0(2,3),h(a0)=0.当aa0时,h(a)0,所以满足条件的最小正整数a=3.,-30-,因为t0,所以m(t)0,当且仅当t=1时,m(t)=0,所以m(t)在(0,+)上是增函数.又m(1)=0,所以当t(0,1),m(t)0总成立,所以原题得证.,解题心得证明与零点有关的不等式,函数的零点本身就是一个条件,即零点对应的函数值为0,证明的思路一般对条件等价转化,构造合适的新函数,利用导数知识探讨该函数的性质(如单调性、极值情况等)再结合函数图象来解决.,-31-,对点训练5(2017河南天一大联考,文21)已知函
15、数f(x)=aln x,g(x)=x+ +f(x).(1)讨论h(x)=g(x)-f(x)的单调性;(2)若h(x)的极值点为3,设方程f(x)+mx=0的两个根为x1,x2,且,1+a0即a-1时,x(0,+)时,h(x)0,h(x)在(0,+)递增;a+10即a-1时,x(0,1+a)时,h(x)0,h(x)在(0,1+a)递减,在(1+a,+)递增,综上,a-1时,h(x)在(0,1+a)递减,在(1+a,+)递增,a-1时,h(x)在(0,+)递增.,-32-,(2)证明 由(1)得x=1+a是函数h(x)的唯一极值点,故a=2.2ln x1+mx1=0,2ln x2+mx2=0,2(ln x2-ln x1)=m(x1-x2),
