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1、二项式定理复习,1、二项式定理：,通项（第r+1项）：,2、二项式系数的性质：,I.在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.,.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大.,.在二项展开式中，所有二项式系数的和等于 ；奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于,概念复习,例1（1）如果 的展开式中，第四项与第六项的系数相等，求展开式中的常数项； （2）求 展开式中的所有有理项., 求常数项就是求x的零次幂的项；, 求有理项就是求x的整数次幂的项.,(一)通项公式的应用,注:,例2、巳知二项式
2、. （1）若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； （2）若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项。,(二)项、项的系数、项的二项式系数,例3.求（x2十3x十2）5的展开式中x的系数。,所以x的系数为 240,例3.求（x2十3x十2）5的展开式中x的系数。,解法二 因为（x2十3x十2）5（x2十3x十2）（x2十3x十2）（x2十3x十2）（x2十3x十2）（x2十3x十2）所以（x2十3x十2）5 展开式的各项是由五个因式中各选一项相乘后得到的，那么它的一次项只能从五个因式中的一个取次项3x，另四个因式中取常数
3、项2相乘得到，即3x24240 x所以x的系数为240,（三）展开式中各项系数和,例4.(2x2-1)n的展开式的各项系数和为（ ） A.2n+1 B.2n C.0 D.1,分析：设(2x2-1)n=a0 x2n+a1x2(n-1)+an，,展开式各项系数和为a0+a1+a2+an,上式是恒等式，所以当且仅当x=1时， (2-1)n=a0+a1+a2+an, a0+a1+a2+an=（2-1）n=1,D,求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为1,2.,A,（四）求展开式中各奇数项与各偶 数项的系数和,例6.已知：(2- )100=a0+a1x+a2x2+a100 x100， A=
4、a0+a2+a4+a100，B=a1+a3+a5+a99， 求： A+B、A-B、A2-B2.,小结：(a+b)n=a0an+a1an-1b+a2an-2b2+anbn， 设 A=a0+a2+a4+，B=a1+a3+a5+， （即A为展开式中各奇数项的系数和， B为展开式中各偶数项的系数和）. 则：令a=b=1，得A+B=2n(1) 令a=1，b=-1，得A-B=0(2) 由（1）（2）可分别解得A、B这是求奇数项系数和与偶数项系数和的基本思路.归纳：求系数和的基本思路是：对二项式的X赋特殊值,(五)整除性的证明、求余数；,例7 如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+37n5天后
5、的那一天是星期几？,解：由于23n+37n5=8n+17n5=（71）n+17n+5=7n+1+7n+5=7(7n +n)+6则 23n+37n5被7除所得余数为6所以对于任意自然数n，经过23n+37n5后的一天是星期日,77771能被19整除吗？,（六）近似计算 |x|1时， 要注意误差绝对值应小于精确度的一半，否则应该加项。,这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成21注意到： 2n+n2n-1=2n-1（2n）=2n-1（n+2）； n2，右式至少三项；这样，可以得到3n2n-1（n2）（nN，且n2）,(七)其它应用,例9 求证：3n2n-1（n2）（nN，且n2）,注 二项式定理实质上是一个恒等式，而恒等式的应用要注意：正用、逆用和变形用.,例10、设 （1）若试用q和n表示 ； （2）若 试用n表示, 要善于利用二项式系数的性质，求解或证明有关的组合关系式.,1、在 的展开式中 的系数是 .,2、在 的展开式中 的系数是 ，该项的二 项式系数是 .,3、在 (kN)的展开式中二项式系数最大的项是第 项.,4、 .,5、设 ， 则 ， .,55,480,120,k1,510,255,3025,6、设 ，则 的反函数 等于（ ）,7、 展开式中 的系数是 （ ）,8、 被4除所得余数为 （ ）,B,B,A,
