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1、一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚说完，一位小男孩立即写出了答案。 1+2+3+4+.+98+99+100=? 老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那个男孩时，才大吃一惊。 而更使人吃惊的是男孩的算法.,小故事,数列问题,数列问题,先看：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,1+ + + + + + + + +10 =11,+2+ + + + + + +9+ =11,+ +3+ + + + +8+ + =11,+ + +4+ + +7+ + + =11,+ + + +5+6+ + + + =11,1
2、15 = 55,为什么有人，很快就完成作业，分数还很高！,而你，做的慢，累死了，还常做错！,（1）1、2、3、4、5、6（2）2、4、6、8、10、12（3）5、10、15、20、25、30 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列数列中的每一个数称为一项；第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项数；,（一）数列的基本知识,数列问题,1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,首项:1 末项:10 项数:10,1、2、3、4、5、6、7、8、9、10,等差数列的主要内容,（一）等差数列的基本知识,（二）等差数列的公差,（三）等差数列的项数,数列问题,（
3、四）求等差数列的某一项,（五）等差数列的和,（六）有公差的等差数列的和,1+2+3+4+5+ . +100 = ？,小故事,数列问题,男孩的算法：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，第三个数加倒数第三个数的和也是101， 共有1002=50 对这样的数， 用10150=5050。高斯的才华使老师十分激动。,德国数学家 高斯,1+ + + + + + + + +100 =101 +2+ + + + + + +99+ =101 + +3+ + + + +98+ + =101 + + +4+ + +97+ + + =101,（二）等差数列的公差,（1）1、2、3、4、
4、5、6 2-1=1,3-2=1. 公差=1 （2）2、4、6、8、10、12 4-2=2, 6-4=2. 公差=2 （3）5、10、15、20、25、30 . 10-5=5, 15-10=5. 公差=5,通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。,数列问题,（三）求等差数列项的数量,数列问题,例 已知数列2、5、8、11、14、17，这个数列有多少项。,分析：第2项比首项多1个公差， 第3项比首项多2个公差， 第4项比首项多3个公差， 那第n项比首项多（n-1)个公差。,规律：末项比首项多的公差的个
5、数，再加上1，就得到这个数列的项数。 等差数列的项数= 公差个数 + 1 =（末项-首项）公差 + 1这个数列的项数= （17-2）3+1=6,（四）等差数列某一项,数列问题,等差数列的通项公式：等差数列的末项= 首项+公差（项数-1）等差数列的某一项= 首项+公差（项数-1）,数列：1、3、5、7、9、11,第2项： 3=1+2 首项+公差1（2-1）第3项： 5=1+2 2 首项+公差2（3-1）第4项： 7=1+2 3 首项+公差3（4-1）第5项： 9=1+2 4 首项+公差4（5-1）第6项： 11=1+2 5 首项+公差5（6-1）,等差数列的某一项=首项+公差（项数-1）,例1
6、已知数列2、5、8、11、14求：（1）它的第10项是多少？ （2）它的第98项是多少？ （3）这个数列各项被几除有相同的余数？,分析：首项=2 公差=3解：（1）第10项： 2+3 （10-1）=29 （2）第98项： 2+3 （98-1）=293,数列问题,求等差数列某一项,数列问题,（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,1+ + + + + + + + +10 =11 （组合）,+2+ + + + + + +9+ =11 （组合）,+ +3+ + + + +8+ + =11 （组合）,+ + + +5+6+ + + + =11 （组合）,115 = 55,+ + +4+ + +
7、7+ + + =11 （组合）,连续数列，求和公式：,=（首项+末项）（总项数2）,=（1+10）（102）,= 115=55,（五）等差数列的求和,数列问题,问题：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=？,1+ + + + + + + + + 19=20（组合）,+3+ + + + + + +17+ =20（组合）,+ +5+ + + + +15+ + =20（组合）,205 = 100,+ + +7+ + +13+ + + =20（组合）,=（首项+末项）（总项数2）,（六）有公差的等差数列的求和,+ + + +9+11+ + + + =20（组合）,20 =(首相+末项)5=
8、 有5个组合,总项数= （末项-首项）公差 + 1 = (19 - 1 ) 2 + 1 = 5,（组合） （组合的数量）,组合的数量= 总项数2,例1、计算1+2+3+2006,公式：(首项+末项)(项数2) =(1+2006) (20062) =20071003 =2013021,练习,1+ + + + + + + + +2006 =2007 +2+ + + + + + +2005+ =2007 + +3+ + + + +2004+ + =2007 + + +4+ + +2003+ + + =2007 . 每个组合的和 = 2007 有几个组合呢？ 20062= 1003 个组合所以总和=2
9、007 1003=2013021,例1、计算1+2+3+2006,直接列公式：=(首项+末项)(项数2)=(1+2006) (20062)=20071003=2013021,练习,首项=1, 末项=2006总项数=2006, 公差=1,例2、求首项是3，公差是5的等差数列的前1999项的和。,练习,首项=3， 末项=？ 不知道，要先求!总项数=1999， 公差=53,8,13,18,23,28，.,解：第1项=3 第2项=3+(51)=8 第3项=3+(52)=13 第4项=3+(53)=18 第5项=3+(54)=23 第6项=3+(55)=28 . 第1999项=3+(51998)=999
10、3,例2、求首项是3，公差是5的等差数列的前1999项的和。,练习,首项=3， 末项=9993总项数=1999， 公差=53,8,13,18,23,28，.9993,解：求和公式 =(首项+末项)(项数2) =(3+9993)(19992) =9996999.5 =9991002,例3、计算11+15+19+.+99。,直接列公式：=(首项+末项)(项数2)=(11+99) (232)=11011.5=1265,练习,解：首项=11, 末项=99 总项数=(末项-首项)公差 + 1总项数=(99-11)4+1 =23 公差=15-11=4,例4、计算(2+4+6+.+96+98+100)-(1
11、+3+5+.+95+97+99),练习,解题思路一： 本题由两个数列组成第一个数列：(2+4+6+.+96+98+100)第二个数列：(1+3+5+.+95+97+99),(2+4+6+.+96+98+100)=(2+100)(502)=10225=2550(1+3+5+.+95+97+99)=(1+99)(502)=25002550-2500=50,例4、计算1991-1988+1985-1982+.+11-8+5-2,练习,解题思路一：=(1991-1988)+(1985-1982)+.(11-8)+(5-2)= 3 + 3 +.+ 3 + 3问题来了？ 这里共有多少3呢？首先，问自己共有
12、多少个项？不看+，-号2,5,8,11.1982,1985,1988,1991,这个数列：首项=2， 末项=1991， 公差=5-2=3项数=(1991-2)3+1=663+1=664组合后有几个3呢？6642=3323332=996,1、计算 2+4+6+96+98+100,课后练习,项数=（末项-首项）公差+1,等差数列求和=（组合）（组合的数量）,2、求首项是5，末项是95，公差是3的等差数列的和。 3、求首项是13，公差是5的等差数列的前60项的和。,4、计算 （1）4000-1-2-3-76-77-78 （2）560-557+554-551+500-497 （3）204-198+192-186+24-18+12-6,课后练习,5、计算（1+3+5+1999）-（2+4+6+1998） 1+2+3-4+5+6+7-8+9+10+11-12+25 +26+27-28,课后练习,让您的天赋燃烧起来,人的天赋就像火花，它既可以熄灭，也可以燃烧起来。而使它燃烧成熊熊大火的方法只有一个，就是学习，再学习。高尔基 奥数学习的途径只有一个,那就是解题,解题,再解题，做题，做题，再做题柳绪颖,谢谢!祝学习步步高升!,
