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1、,线性空间的定义,那么， 就称为（实数域 上的）向量空间（或线性空间）， 中的元素不论其本来的性质如何，统称为（实）向量,简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为向量空间,线性空间的性质,子空间,定义设 是一个线性空间， 是 的一个非空子集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称 为 的子空间,定理线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是： 对于 中的线性运算封闭,定义,线性空间的维数、基与坐标,定义,一般地，设 与 是两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性
2、空间 与 同构,线性空间的结构完全被它的维数所决定任何 维线性空间都与 同构，即维数相等的线性空间都同构,基变换,坐标变换,线性变换的定义,变换的概念是函数概念的推广,线性变换的性质,线性变换的矩阵表示,10线性变换在给定基下的矩阵,同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不同基下的矩阵,11线性变换在不同基下的矩阵,典型例题,一、线性空间的判定,二、子空间的判定,三、求向量在给定基下的坐标,四、由基和过渡矩阵求另一组基,五、过渡矩阵的求法,六、线性变换的判定,七、有关线性变换的证明,八、线性变换在给定基下的矩阵,九、线性变换在不同基下的矩阵,线性空间中两
3、种运算的条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和条运算规律中有一条不满足即可,一、线性空间的判定,解,解,二、子空间的判定,证一,三、求向量在给定基下的坐标,证二,四、由基和过渡矩阵求另一组基,解,五、过渡矩阵的求法,解一由过渡矩阵的定义有,整理得,从上面的解法可以看到，由定义出发，利用解方程组，求出线性表达式中的系数，得到过渡矩阵，这种方法计算量太大，因此，当线性表达式不容易得到时，可采用下面的解法,解二引入一组新的基,解,六、线性变换的判定,七、有关线性变换的证明,解,解,八、线性变换在给定基下的矩阵,九、线性变换在不同基下的矩阵,解,第六章测试题,一、 填空题(每小题4分，共24分),则向量 在这组基下的坐标为,二、 解答题(每小题8分，共16分),五、下列变换是否线性变换？为什么？(每小题5分，共10分),求 的值域与核的维数和基,求 的特征值与特征向量,一个基,求微分运算 在这个基下的矩阵,对于函数的线性运算构成3维线性空间，在 中取,测试题答案,维数为6,
