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1、5.1定积分的概念与性质,第五章,新课引入,正方形、矩形、三角形、梯形、圆、扇形等。,规则图形,?,不规则图形的面积你会求吗？如山东省的面积、济南市的面积、大明湖的面积,下图的面积你会求吗？,同学们听说过曹冲称象的故事吗？古代没有那么大的秤，曹冲是怎样秤出大象的体重的？,我们可不可以把这个不规则的图形分割以后一块一块地求？,用两组互相垂直的平行线分割这个图形：,中间这些矩形的面积容易求出，边界处的图形中有一条边为曲边，所以面积不容易求.,我们把边界处的图形叫作曲边梯形.,由连续曲线,所围的平面图形称为曲边梯形。,与三条直线,如何求曲边梯形的面积？,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,基本思路:,如
2、何才能使 这种近似代取更精确？,当曲边梯形的底边趋近于零时,矩形面积无限地趋近于曲边梯形的面积,求曲边梯形的具体方法:,1.将曲边梯形分成无穷多个小的曲边梯形,2.在每个小曲边梯形的底边上作一个矩形近似代取小的曲边梯形,1.曲边梯形的面积,(1) 分割,在区间 a , b 内,任意插入 n 1 个分点,(2) 近似,把区间 a , b 分成 n 个小区间,化整为零,以直代曲,(3) 求和,(4) 取极限,令,则,2. 变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在 T1, T2 内物体所经过的路程 s.,已知速度,(1) 分割,将它分成,在每个小段上物体经,n 个小段,过的路程为,积零为整,
3、精确化,(2) 近似,(3) 求和,(4) 取极限,上述两个问题的共性:,1 解决问题的方法步骤相同:,“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”,2 所求量极限结构式相同:,乘积和式的极限,令,抛去几何意义和物理意义，我们把具有这两个共性的问题，用定积分来表示：,5.1.2 定积分的定义,任意插入n个,把区间a, b分成 n 个小,总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数,记,怎样分法,f (x) 在a , b,记作,分点,区间,令,1 定义,作乘积,并作和,也不论,怎样取法,如果不论a, b,上的定积分,即,设函数,其中, 积分号;, 被积函数;, 被积表达式;, 积分变量;, 积分
4、限.,注,(1),叫做f (x) 的积分和.,的定积分存在,若f (x) 在a , b上的,称f (x) 在a , b上可积.,(2),定积分的值与积分变量的记号无关,仅与f (x) 和,a , b 有关.,即,(3),(4),是数值.,是函数,a = b 时,12,函数的可积性 如果函数f(x)在区间a, b上的定积分存在, 则称f(x)在区间a, b上可积.,定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数f(x)在区间a, b上可积. 定理2 如果函数f(x)在区间a, b上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间a, b上可积.,可积的充分条件,13,例 用定积分表示极
5、限,解,定积分的定义,14,这是因为,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,定积分的几何意义,15,各部分面积的代数和,定积分的几何意义,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,16,例2,解,例1,利用定积分的几何意义，计算,解,17,三、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,注：值得注意的是不论a b c的相对位置如何上式总成立,18,利用定积分的几何意义，可分别求出,解,例3,19,三、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质4,20,如果在区间a b上 f (x)0 则,性质5,性质6,设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值 则,推论,如果在区间a b上 f (x)g(x)
6、则,21,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间a b上至少存在一个点x 使下式成立,这是因为, 由性质6,性质7(定积分中值定理),积分中值公式,由介值定理, 至少存在一点xa, b, 使,两端乘以ba即得积分中值公式.,22,注:,无论从几何上, 还是从物理上,都容易理解,平均值公式,求连续变量的平均值要用到.,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间a b上至少存在一个点x 使下式成立,性质7(定积分中值定理),积分中值公式,23,例3,计算从0 秒到T秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解 已知自由落体速度为,故所求平均速度,24,例4 求,解,25,小结：,一、定积分定义二、定积分的性质,同学们，再见！,
