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1、MMT,YANGZHOUDAXUE,物理科学与技术学院,第八讲、小波变换和图像压缩,第1节 小波变换简介,设有信号f(t):,其傅里叶变换为F(j):,即：,=+,（t）,1/2（2t-t0）,2/3（4t-t1）,像(t)这样，有限长且均值为0的函数称为小波函数。常用的小波函数如下图：,由一个母小波函数，通过平移和缩放，可得到一系列函数，组成一个小波函数系。,其中a为缩放参数，b为平移参数。,将函数用一个小波函数系的线性组合表示就是小波反变换。,为(x) 的傅里叶变换。 为小波系数。,求得小波系数的算式就是小波正变换。,该式也可以理解为f(x)和a,b(x)内积，小波系数表示二者的相似程度，
2、或f(x)中含有a,b(x)成分的多少 。,小波系数有a和b两个自变量，分别代表不同的尺度（时间）和频率，所以小波分析属于时频分析。,第2节 离散小波变换（HAAR小波）,（1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8 ）（1/8, 1/8 , 1/8, 1/8, -1/8, -1/8, -1/8, -1/8）（1/4, 1/4 ,-1/4, -1/4, 0, 0, 0, 0）（ 0, 0 , 0, 0, 1/4, 1/4 ,-1/4, -1/4）（1/2, -1/2 , 0, 0, 0, 0, 0, 0）（ 0, 0 , 1/2, -1/2 , 0, 0,
3、0, 0）（ 0, 0 , 0, 0, 1/2, -1/2 , 0 , 0）（ 0, 0 , 0, 0, 0, 0, 1/2, -1/2）,连续Haar小波,对应的离散Haar小波,离散小波变换就是做向量的内积。例：对（64， 2， 3， 61， 60， 6， 7， 57）做Haar小波变换：,Haar小波变换第二种做法：,Haar小波反变换：,Haar小波反变换第二种做法：,第3节 图像小波变换,图像是二维数据，所以要分别对行和列做小波变换。行列的顺序不影响变换结果。JPEG2000标准中建议的不是Haar小波，而是5/3小波或9/7小波。对图像的小波变换可能有损也可能无损。图像小波变换除了
4、应用在图像压缩上，还广泛用于图像分析。,第4节 EZW编码（1992）,将图像的小波系数用树结构表示。,例：,88小波系数扫描次序,EZW编码的术语P：正重要节点，本节点绝对值大于阈值，且为正数。N：负重要节点，本节点绝对值大于阈值，且为负数。Z：孤立零，本节点绝对值小于阈值，但其子节点中有重要节点。T：零树根，本节点及其所有子节点绝对值都小于阈值。扫描：按次序扫描各小波系数，判断其为何种节点。,第一次扫描编码结果：PNZT PTTT TZTT TTTT TPTT10 1 0,EZW编码举例：,第一次扫描:初始阈值设为32。得到重要节点，对零树根的子节点不做扫描。对重要节点编码。,第二次扫描编
5、码结果： NP TTT TTTT TTTT TTTT1001 10,第二次扫描:阈值设为16。第二遍扫描对第一遍的重要节点不扫描。对第一第二遍扫描的重要节点编码。,第三次扫描编码结果： PPN PPNT TNNP TPTT NTTT TTTT TPTT TPTT TTT TTTP TTTT TTTT TTTT100111 01111011011000,第三遍扫描:阈值设为8。第三遍扫描对之前扫描的重要节点不扫描。对所有的重要节点编码。,EZW解码：,PNZT PTTT TZTT TTTT TPTT10 1 0,NP TTT TTTT TTTT TTTT1001 10,PPN PPNT TNNP
6、 TPTT NTTT TTTT TPTT TPTT TTT TTTP TTTT TTTT TTTT100111 01111011011000,原始小波系数和原始数据,解码误差分析：,小波反变换：,第一次解码误差：,小波反变换：,根据第一次扫描结果解码,第二次解码误差：,根据第二次扫描结果解码,小波反变换：,第三次解码误差：,根据第三次扫描结果解码,小波反变换：,JPEG 2000是一个新的图像标准，目的是利用当前的压缩技术，提供一种新的图像编码体系。,第5节 JPEG2000,其中，小波变换采用5/3或9/7小波，编码采用EBCOT(1999)编码。,JPEG2000的文件采用扩展名.j2k。
7、 JPEG 2000有两种编码模式： 基于DCT的编码模式：基于JPEG。 基于小波变换的编码模式：包括无损和有损变换。JPEG 2000有下述优点： (1) JPEG2000作为JPEG升级版，其压缩率比JPEG高30%左右。 (2) JPEG2000同时支持有损和无损压缩。无损压缩对保存一些重要图片十分有用。 (3) JPEG2000能实现渐进传输。先传输图像的轮廓，然后逐步传输数据，不断提高图像质量，让图像由朦胧到清晰显示，而不必是像现在的JPEG一样，由上到下慢慢显示。 (4) JPEG2000支持“感兴趣区域（ROI，region of interest）”特性，可以任意指定影像上感兴趣区域的压缩质量，还可以选择指定的部份先解压缩。可以很方便的突出重点。,渐进传输实例：,ROI实例：,小结,小波变换属于时频分析数学工具，不同于单纯的时域分析和频域分析。 图象的小波变换属于二维离散小波变换。可能有损可能无损。 JPEG2000标准中建议的不是Haar小波，而是5/3小波或9/7小波。编码方法也不是EZW编码，而是EBCOT编码方法。很可能成为下一代图像标准。 图像小波变换除了应用在图像压缩上，还广泛用于图像分析。,
