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1、11-1 压杆的稳定概念11-2 细长压杆临界压力的欧拉公式11-3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图11-4 压杆的稳定计算11-5 提高压杆稳定性的措施,第十一章 压杆稳定,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆.,工程实例,木结构中的压杆,脚手架中的压杆,桁架中的压杆,第一节 压杆的稳定概念,(a): 木杆的横截面为矩形（12cm),高为3cm，当荷载重量为6kN时杆还不致破坏。,(b)：木杆的横截面与(a)相同，高为1.4m(细长压杆），当压力为0.1KN时杆被压弯， 导致破坏。,(a)和(b)竟相差60倍，为什么？,细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强
2、度不够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态所致。这种现象称为失稳。,问题的提出,稳定问题:主要针对细长压杆,课堂小实验:横截面为26mm1mm的钢尺,求其能承受的 Fmax=?,1983年10月4日，高54.2m、长17.25m、总重565.4KN大型脚手架局部失稳坍塌，5人死亡、7人受伤。,2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成6人死亡，35人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。,失 稳：不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的变化或破坏过程。,稳定性：平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。,小球平衡的三种状态,受压直杆平衡的三
3、种形式,电子式万能试验机上的压杆稳定实验,第二节 细长压杆临界压力的欧拉公式,一、两端铰支细长压杆的临界载荷,当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡。,考察微弯状态下局部压杆的平衡:,M (x) = Fcr y (x),二阶常系数线性奇次微分方程,微分方程的解: y =Asinkx + Bcoskx,边界条件: y ( 0 ) = 0 , y ( l ) = 0,若 A = 0，则与压杆处于微弯状态的假设不符，因此可得：,两端铰支细长压杆的临界载荷的欧拉公式,最小临界载荷:,临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。,二、支承对压杆临界载荷的影响
4、,一端自由一端固定,一端铰支一端固定,两端固定,两端铰支,临界载荷欧拉公式的一般形式:,一端自由，一端固定 : 2.0一端铰支，一端固定 : 0.7 两端固定 : 0.5 两端铰支 : 1.0,定性确定 Imin,例：图示细长圆截面连杆，长度，直径,材料为Q235钢，E200GPa.试计算连杆的临界载荷 Fcr .,解：1、细长压杆的临界载荷,2、从强度分析,一、临界应力与柔度,临界应力的欧拉公式,压杆的柔度（长细比）,压杆容易失稳,惯性半径,第三节 欧拉公式的使用范围 临界应力总图,柔度是影响压杆承载能力的综合指标。,（细长压杆临界柔度）,二、欧拉公式的适用范围,例：Q235钢，,欧拉公式的
5、适用围: ，称大柔度杆（细长压杆 ）,1、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。,三、临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。,2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。,直线型经验公式,是与材料性能有关的常数。,直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。,3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。,细长杆发生弹性屈曲 (p)中长杆发生弹塑性屈曲 (s p)粗短杆不发生屈曲，而发生屈服 ( s),临界应力总图a,临界应力总图b,在我国钢结构规范中采用的抛物线经验公式为,对于 的非细长杆，临界应力采用抛物线公式进行计算。,抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的中柔度压杆。,四、
6、注意问题：,1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。,2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。,抛物线型经验公式,临界力计算的步骤,例：一压杆长L=1.5m，由两根 56566 等边角钢组成，两端 铰支，角钢为Q235钢，试用欧拉公式或经验公式求临界压 力（cr = 304 - 1.12 ）。,解：查表：一个角钢：,两根角钢图示组合之后,所以，应由经验公式求临界压力。,临界压力,例 两端铰支压杆的长度L=1.2m，材料为Q235钢，E=200GPa，s=240MPa，p=200MPa。已知
7、截面的面积 A=900mm2，若截面的形状分别为圆形、正方形、d D=0.7 的空心圆管。试分别计算各杆的临界力。,解 （1）圆形截面直径 惯性半径,柔度,因为 ，所以属细长压杆，用欧拉公式计算临界力,（2） 正方形截面截面边长,因为 ，所以属细长压杆，用欧拉公式计算临界力。,柔度计算,（3） 空心圆管截面 因为 ，所以,得 D=47.410-3m ， d=33.1810-3m,因为 ，所以属中长压杆，用直线公式计算临界力。,惯性矩,柔度计算,例 图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件不相同。试求：1.那一根杆的临界荷载较大？2.计算d160mm，E206GPa
8、时，二杆的临界荷载。,解 1.计算柔度判断两杆的临界荷载,两端铰支压杆的临界荷载小于两端固定压杆的临界荷载。,2.计算各杆的临界荷载,解:,例:有一千斤顶,材料为A3钢.螺纹内径d=5.2cm，最大高度l=50cm,求临界载荷 .(已知 ),柔度:,惯性半径:,0 p,可用直线公式.,因此,解: 在屏幕平面内（xy）失稳时柱的两端可视为铰支端(图a)； 若在垂直于屏幕平面内（xz）失稳时，柱的两端可视为固定端(图b)。,例:截面为120mm200mm的矩形木柱，长l=7m，材料的弹性模量E=10GPa,p=8MPa。试求该木柱的临界力。,讨论： 由于该柱在两个形心主惯性平面内的支承条件不相同，
9、因此，首先必须判断，如果木柱失稳，朝哪个方向弯？,在屏幕平面（xy）内绕 z 轴失稳时,在垂直于屏幕平面（xz）内绕 y 轴失稳时,z p 应采用欧拉公式计算,木柱的临界力为,选用计算公式,例截面为120200mm的矩形木柱，材料的弹性模量E=1104Mpa。其支承情况为：在xoz平面失稳（即绕y 轴失稳）时柱的两端可视为固定端（图a）；在xoy平面失稳（即绕 z 轴失稳）时，柱的两端可视为铰支端（图b）。试求该木柱的临界力。,解：(1)计算绕y轴失稳时的柔度,y=0.5（两端固定）,(2)计算绕z轴失稳时的柔度,z=1（两端铰支）,(3)计算临界力,从上面计算可知：zy（绕z失稳）,maxp
10、，可由欧拉公式计算临界力,该柱将可能在xoy平面失稳（绕z轴）。,1、安全系数法:,一、稳定条件,稳定许用压应力。,2、折减系数法:,许用应力；,折减系数，与压杆的柔度和材料有关。,第四节 压杆的稳定计算,注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别.,强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力不仅与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。,二、稳定计算,1)校核稳定性；2)设计截面尺寸；3)确定外荷载。,1、安全系数法:,应用上式的稳定条件，能够解决压杆下列三方面的问题。,验算压杆的稳定性,确定容许荷载,选择压杆的截面尺寸和形状,由于上式中，A和 都是未知的，所以需采用逐次渐近法进行
11、计算。,2、折减系数法:,aBC 杆绕y失稳时，B 端可视为铰支，长度系数为：,例结构受力如图示，BC杆采用No18工字钢(Iz=1660cm4, iz=7.36cm,Iy=122cm4,iy=2cm,A=30.6cm2)。材料的弹性模量 E=2105 Mpa，比例极限 ，稳定安全系数 nW=3。试确定容许荷载G。,解（一）求max,即可能首先绕 y 轴失稳,（二）确定BC杆的临界荷载,BC杆的临界力可用欧拉公式计算,bBC 杆绕z失稳时，B 端可视为自由端，长度系数为：,（三）确定结构的容许荷载,BC杆能承受的容许荷载为：,结构的容许荷载:,解：折减系数法,1、最大柔度,xy平面内， z=1
12、.0,zy平面内， y=2.0,例： 图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m， =11MPa，直径为： d = 0.3m，试求此杆的许用压力。（xy 面两端视为铰支；xz 面一端视为固定，一端视为自由）,2、求折减系数,3、求许用压力,例： 一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cm2，I=79.95 cm4，E =210 GPa，F =60 kN，材料为A3钢，两端为铰支座。试进行稳定校核。1) nw= 2； 2)=140 MPa。,解：1) 安全系数法：,2) 折减系数法,查表: =140，=0.349；=150，=0.306。,解：（一）由平衡条件解出两杆内力与荷载 P
13、的关系。,例AB、AC 杆材料相同为低碳钢，直径为 d=6cm, lAB=3m,lAC=2m， .考虑图示平面内稳定时，结构的容许荷载F。,查 表得：,（二）用折减系数法求容许荷载P,a由AB杆确定容许荷载P1。,AB杆的容许荷载为：,代入(1)后得：,查 表得：,b由AC杆确定容许荷载F2。,采用插入法确定 ：（见图）,AC杆的容许荷载为：,c比较F1 和F2确定F=162KN（取小者）,代入(2)后得：,提高压杆稳定性的措施，可从决定压杆临界力的各种因素去考虑。,第五节 提高压杆的稳定的措施,由于各种钢材的E大致相等，所以选用优质钢材与普通钢材并无很大差别。,采用高强度优质钢在一定程度上可
14、以提高中长压杆的稳定性。,对于短粗杆，本身就是强度问题，采用高强度材料则可相应提高强度，其优越性自然是明显的。,柔度越小，稳定性就越好，为了减小柔度，在可能的情况下可采取如下一些措施：,1、改善支承情况,压杆两端固定得越牢固，临界应力就大。所以采用 值小的支承情况，可以提高压杆的稳定性。,两端铰支(图a)的细长压杆，若在杆件中点增加一支承(图b) ，则计算长度为原来的一半，柔度相应减小一半，而其临界应力则是原来的4倍。,2、减小杆的长度,三、整个结构的综合考虑,3、选择合理的截面,如果截面面积一定时，应设法增大惯性矩 I 。工程中的压杆常采用空心截面或组合截面。例如，同样截面的实心圆杆改成空心
15、圆杆。,又如，由四根角钢组成的立柱，角钢应分散放置在截面的四个角（见图a），而不是集中放置在截面的形心附近（见图b）。,当压杆在各个弯曲平面内的约束条件相同时，则压杆的失稳发生在最小刚度平面内。因此，当截面面积一定时，应使 ，而且还要尽量使 值大些（例如，空心圆等），从而提高其抗失稳的能力。,如压杆在两个弯曲平面内的约束条件不同，这就要求在两个弯曲平面内的柔度相等或相近，从而达到在两个方向上抵抗失稳的能力一样或相近的目的。,例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定，上端为球铰支座，试问 a=？时，立柱的临界压力最大值为多少？,解：1、对于单个10号槽钢， 形心在C1点。,两根槽钢图示组合之后:,（z1）,（z1）,2、求临界力：,大柔度杆，由欧拉公式求临界力。,
