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1、巧用几何方法平分图形面积,制作：花园,情境导入,如图所示，在一块矩形土地上，有一平行四边形水池，怎样修一条水渠把土地面积分成相等的两部分？,困惑与思维突破,困惑：土地被水池占去一部分，剩余的是不规则图形，怎么平分不规则图形的面积？,思维突破：原有土地是矩形，水池是平行四边形，这是两个基本图形的组合图形.,要解决怎么平分组合图形的面积，我们先来研究基本图形平分面积的情况.,有一块三角形花园，现在物业公司要对其进行绿化，要求用一条直线为分界线把这块三角形空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块用来植绿色植被，如果你是设计师，你应该怎样设计，才能满足要求？,平分基本图形的面积,平分三角形的面积,A
2、,B,C,三角形一边中线所在的直线平分三角形面积面积.,依据：等底等高（或同）的两个三角形面积相等.,如果花园形状是矩形，要求用一条直线为分界线把这块矩形空地分成面积相等的两块，应该怎样设计，才能满足要求？,A,B,O,E,F,割补原理,平分基本图形的面积,过对角线的交点任意一条直线平分矩形面积.,除了这几种分法外，还有其它分法吗？怎么分？,过矩形中心的任意一条直线都等分矩形的面积。,如果花园形状是平行四边形，用一条直线为分界线把这块空地分成面积相等的两块，怎么分？,A,B,C,D,过平行四边形中心的任意一条直线都等分它的面积。,过对角线交点的任一直线平分它们的面积,平分特殊的平行四边形的面积
3、,平分正多边形和圆的面积,1、尝试平分正五边形和正六边形的面积,正奇边形的对称轴平分面积；过正偶边形中心的任一条直线平分面积.,2、尝试平分圆的面积,过圆心的任一条直线平分面积,平分梯形的面积,1、你能找到一条平分梯形面积的直线吗？平分面积你首先想到平分什么？,首先考虑平分对边.,两腰中点所在直线不能平分梯形面积；,两底中点所在直线平分梯形面积.,直线平分梯形面积：（1）两底中点所在直线.（2）变形为等积的平行四边形.（3）变形为等积的三角形.注意：所作直线必须与梯形两底都相交.,问题解决,平分变形梯形,依据：上下底中点所在直线平分梯形面积；构成“8”字型全等三角形.（自行证明）,如果花园是任
4、意四边形，一条直线将其分成等积的两块，有几种分法？怎么分？直线可以任意角度吗？,运用转化的思想，将其变形为等积的三角形.,解题策略：任意四边形变形为等积的三角形.,平分组合图形的面积,1、问题情境的解决,连接AC和BD交于O1，连接EG和FH交于O2，作直线O1O2，沿O1O2修水渠可把土地平分.,O1,O2,思考：问题就这样轻易解决吗？你发现水渠的位置有什么特点？,问题情境一反思,因为且所作直线和、均相交.，利用上述方法也可作无数条直线平分面积,问题情境一反思修改,这是不会出现情境一的情况.本图只能作一条直线平分土地面积.,如图，甲、乙两家的地被一条小路ABC分开，地的两边是两条平行的道路，
5、现在为方便行走，想把弯道ABC改成直道(改后两家的地以这条直道为界)，且不能改变两家的土地面积，你能帮他们改一下吗？,联系拓广,乙,甲,O1,O2,E,F,D,巩固升华,乙,甲,E,F,F,O,问题情境二,请你在图中画一条直线把它分成面积相等的两部分.,问题解决,方法一（割法）：,如图，分割成上下两个长方形.,分别作两条对角线的交点，过两交点作直线即平分面积.,方法二（割法）：,问题解决,如图，分割成左右两个长方形.,分别作两条对角线的交点，过两交点作直线即平分面积.,问题解决,方法三（补法）：,如图，补成一个大长方形.,分别作两条对角线的交点，过两交点作直线即平分面积.,反思：探究到此结束吗
6、？平分面积的直线还有吗？,问题情境二反思,借助上述方法我们也可以作无数条直线平分面积,问题情境三,如图，在五边形中，则可以将五边形分成面积相等的直线有条.,方法一：上下分成梯形和矩形.,作梯形中位线和两底中点所连线段的交点，再作矩形对角线的交点，过两交点作直线，可平分面积.,方法二：左右分成梯形和矩形.,作梯形中位线和两底中点所连线段的交点，再作矩形对角线的交点，过两交点作直线，可平分面积.,只有这两条直线？,正确方法分析,以方法一所作直线为基础进行分析.,、问题就在，而直线与、均相交.,、类比平分梯形面积，可构造“”字型全等三角形就可寻找到正确答案.,问题解决,直线分别交、于、两点，作的中点
7、，过点作任意和、均相交的直线即可.,方法二同上,过MN的中点任画一条直线，只要与AE相交都满足条件。,M,E,B,A,C,D,O1,O2,N,如图 ，在一梯形土地上，有一矩形水池，怎样 修一条水渠可以把土地面积分成相等的两部分.,问题解决,1、作梯形中位线和上下底中点所连接的线段交于点M.,2、连接矩形的对角线交于点N.,3、作直线MN.,则水渠沿MN方向修平分土地面积,M,N,如图，在O中，弦ABCD，怎样作一条直线把阴影面积分成相等的两部分.,问题解决,分析：阴影部分为轴对称图形.,1、作对称轴分别交AB和CD于M、N；,M,N,2、作线段MN的中点；,3、过中点作任一条直线且与AB、CD
8、均相交.,则所作直线即平分阴影面积.,如图所示，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，分别以AB、CD为直径挖去两个全等弓形，怎样做一条直线把阴影部分分成面积相等的两部分.,问题解决,分析：阴影部分为轴对称图形.,1、连接AD、BC中点M、N；,2、作梯形中位线交MN的中点O；,3、过中点O作任一条直线且与AD、BC均相交.,则所作直线即平分阴影面积.,M,N,O,如图在六边形ABCDEF中，BCADEF，怎样作一条直线把六边形分成面积相等的两部分.,问题解决,1、作梯形ADEF上下底中点所连线段和中位线的交点M；,2、作梯形ABCD上下底中点所连线段和中位线的交点N；,M,N,3、作直
9、线MN交EF于P，交BC于Q；,4、作PQ的中点O，过O点作与EF、BC均相交的任意直线.,则所作直线即平分六边形的面积,O,如图梯形ABCD和EFGH两块土地，ABCDEFGH ，怎样修一条小路穿过两块土地，使小路两旁的土地面积相等.,问题解决,1、作梯形ABCD中位线与两底中点所连线段的交点M；,2、作梯形EFGH中位线与两底中点所连线段的交点N；,3、作直线MN.,N,M,则沿MN修小路可使小路两旁土地面积相等.,如图梯形ABCD和EFGH两块土地，ABCD，EFGH ，怎样修一条小路穿过两块土地，使小路两旁的土地面积相等.,问题解决,1、作梯形ABCD中位线与两底中点所连线段的交点M；
10、,2、作梯形EFGH中位线与两底中点所连线段的交点N；,3、作直线MN.,N,M,则沿MN修小路可使小路两旁土地面积相等.,如图三个梯形土地，怎样修一条小路穿过三块土地，使小路两旁的土地面积相等.,问题解决,1、作梯形中位线与两底中点所连线段的交点M；,2、作梯形中位线与两底中点所连线段的交点N；,3、作直线MN交的上底于P，交的上底于Q，做PQ的中点O1；,则沿O1O2修小路可使小路两旁土地面积相等.,M,N,4、作梯形中位线与两底中点所连线段的交点O2；,5、作直线O1O2.,O1,O2,P,Q,问题4 如何用一条直线把四边形分成面积相等的两部分,解题策略：任意四边形变形为等积的三角形,课堂小结,（2）平分平行四边形面积：找过中心的直线.（3）平分梯形面积：找两底中点所在直线； 等积变形成三角形； 等积变形成平行四边形.（4）平分一般四边形面积：变形为等积的三角形.,1知识点（1）平分三角形面积：找中线.,课后思考： 如果花园形状是任意四边形ABCD，四边形内部有一条折线小路AEC刚好平分四边形面积，现在小区的物业公司想把折线小路修成直线小路，由于各种条件限制，小路要通过点A，并且只能修在AC和点E之间，同时还要平分四边形面积，请你帮助设计？,
