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1、1 平面点集与多元函数,多元函数是一元函数的推广, 它保留着一元函数的许多性质, 同时又因自变量的增多而产生了许多新的性质, 读者对这些新性质尤其要加以注意. 下面着重讨论二元函数, 由二元函数可以方便地推广到一般的多元函数中去.,四、 n 元函数,一、平面点集,二、 R2 上的完备性定理,三、 二元函数,一、平 面 点 集, 平面点集的一些基本概念 由于二元函数的定,坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平,对 与平面上所有点之间建立起了一一对应.,在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数,义域是坐标平面上的点集, 因此在讨论二元函数,之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念.,
2、面点集, 记作,例如：,(2),(3),由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一,方邻域之内(反之亦然), 因此通常用“点 A 的 邻,用记号 或 来表示.,点 A 的空心邻域是指:,域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域, 并,注意: 不要把上面的空心方邻域错写成 : ( 请指出,错在何处? ),或, 利用邻域来描述点和点集之间的关系,以下三种关系之一 :,是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为,E 的内部, 记作 int E.,点 A 是 E 的外点；由 E 的全体外点所构成的集合,称为 E 的外部.,的全体界点所构成的集合称为 E 的边界; 记作,注 E
3、 的内点必定属于 E; E 的外点必定不属于 E;,E 的界点可能属于 E, 也可能不属于 E. 并请注意:,的集合.,例1 设平面点集（见图 16 3）,于D; 满足 的一切点也,是 D 的内点; 满足,的一切点是 D 的界点, 它们都属,是 D 的界点, 但它们都不属于 D.,点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分的.,此外，还可按 “疏-密” 来区分，即在点 A 的近旁,是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系:,含有 E 中的点，则称点 A 是点集 E 的聚点,注1 聚点本身可能属于E，也可能不属于E.,注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域,内都含有
4、 E 中的无穷多个点”.,注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集, 记,例如, 对于例1 中的点集 D, 它的导集与闭包同为,所有聚点都属于 D.,例1 设平面点集（见图 16 3）,E 的孤立点.,注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必,为聚点; 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点.,E 中所有点 ( p, q ) 全为 E 的孤立点; 并有, 一些重要的平面点集,根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一,些重要的点集.,开集 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E =,int E ), 则称 E 为开集.,E 为闭集.,例如前面列举的点集中, (2)式所示的
5、 C 是开集; (3),式所示的 S 是闭集; (4)式所示的 D 既非开集, 又,非闭集; 而(1)式所示的 R2 既是开集又是闭集. 在,(2),(3),开域若非空开集 E 具有连通性, 即 E 中任意两,点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接,则称 E 为开域. 简单地说, 开域就是非空连通开集.,闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域.,区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所,成的集合, 统称为区域.,不难证明: 闭域必为闭集; 而闭集不一定为闭域.,在前述诸例中, (2)式的 C 是开域, (3)式的 S 是闭,域, (1)式的 R2 既是开域又是闭域, (4)式的 D 是
6、区,域 (但既不是开域又不是闭域). 又如,(2),(3),它是 I、 III 两象限之并集. 虽然它是开集, 但因,不具有连通性, 所以它既不是开域, 也不是区域.,其中 O 是坐标原点(也可以是其他固定点), 则称 E,为有界点集. 否则就为无界点集 .,前面 (2), (3), (4) 都是有界集, (1) 与 (5) 是无界集.,E 为有界点集的另一等价说法是: 存在矩形区域,(2),(3),此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映,所谓点集 E 的直径, 就是,其中(P1, P2) 是 P1 (x1, y1) 与 P2 (x2, y2)之间的距,离, 即,于是, 当且仅当 d(E)
7、 为有限值时, E为有界点集.,根据距离的定义, 不难证明如下三角形不等式:,二、R2上的完备性定理, 平面点列的收敛性定义及柯西准则 反映实数,系完备性的几个等价定理, 构成了一元函数极限理,论的基础. 现在把这些定理推广到 R2, 它们同样是,二元函数极限理论的基础.,则称点列 Pn 收敛于点 P0 , 记作,同样地有,由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限, 因,此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.,证（必要性）,应用三角形不等式, 立刻得到,(充分性) 当 (6) 式成立时, 同时有,这说明 xn 和 yn 都满足关于数列的柯西准则,所以它们都收敛.,由点列收敛概念, 推知Pn收敛
8、于点 P0(x0, y0)., 下述区域套定理, 是区间套定理在 R2 上的推广.,定理16.2(闭域套定理) 设 Dn 是 R2 中的一列闭,域, 它满足：,则存在惟一的点,证 如图16 7所示, 任取点列,从而有,由柯西准则知道存在,任意取定 n, 对任何正整数 p, 有,Dn 的聚点必定属于 Dn , 则得,则由,推论 对上述闭域套 ,注 把 Dn 改为闭集套时, 上面的命题同样成立. (习题11),E 在 R2 中至少有一个聚点.,证 现用闭域套定理来证明. 由于 E 有界, 因此存,分成四个相同的小正方形, 则在其中至少有一小闭,正方形含有 E 中无限多个点, 把它记为 D2. 再对
9、,D2 如上法分成四个更小,的正方形, 其中又至少有,一个小闭正方形含有 E,的无限多个点. 如此下去,得到一个闭正方形序列：,很显然, Dn 的边长随着,而趋于零. 于是由闭域套定理, 存在一点,最后, 由区域套定理的推论,又由 Dn 的取法, 知道,含有 E 的无限多个点, 这就证得了M0 是 E 的聚点.,本定理的证明与 R 中的有限覆盖定理 ( 定理 7.3 ),相仿, 在此从略.,注 将本定理中的 D 改设为有界闭集, 而将,改设为一族开集, 此时定理结论依然成立 .,为一族开域 , 它覆盖了 D,同样覆盖了D, 即,三、二元函数, 函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对,应关系
10、. R 到 R 的映射是一元函数, R2 到 R 的映,射则是二元函数.,定义2 设平面点集 , 若按照某对应法则 f ,D 中每一点 P ( x, y ) 都有惟一确定的实数 z 与之,对应, 则称 f 为定义在 D 上的二元函数 ( 或称 f 为,D 到 R 的一个映射 ), 记作,也记作,或点函数形式,与一元函数相类似, 称 D 为 f 的定义域; 而称,为 f 在点 P 的函数值; 全体函数值的集合为 f 的,值域, 记作 . 通常把 P 的坐标 x 与 y 称,为 f 的自变量, 而把 z 称为因变量.,当把 和它所对应的 一起组成,三维数组 ( x, y, z ) 时, 三维点集,
11、便是二元函数 f 的图象. 通常该图象是一空间曲,面, f 的定义域 D 是该曲面在 xOy 平面上的投影.,其定义域是 R2, 值域是 R .,例9 的定义域是 xOy 平面上的,单位圆域 , 值域为区间 0, 1 ,它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分,( 图16 9 ).,例10 是定义在 R2 上的函数, 它的图象是过,原点的双曲抛物面 ( 图 16 10 ).,例11 是定义在 R2 上的函数, 值域,是全体非负整数, 它的图象示于图 16 11., 若二元函数的值域 是有界数集, 则称函数,在 D上为一有界函数 ( 如例9 中的函数 ) . 否则,函数 ( 如例8、10、11
12、 中的函数 ).,四、n 元函数,维向量空间, 简称 n 维空间, 记作 Rn. 其中每个有,设 E 为 Rn 中的点集, 若有某个对应法则 f , 使 E,与之对应, 则称 f 为定义在 E 上的 n 元函数, 记作,也常写成,或,对于后一种被称为 “点函数” 的写法, 它可使多元,函数与一元函数在形式上尽量保持一致, 以便仿照,一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题;,同时, 还可把二元函数的很多论断推广到,元函数中来.,复 习 思 考 题,1. 试问在 R 中的开集、闭集、开域、闭域、区域,等集合是数直线上怎样一些点集？,2. 设 E, F 分别是 R2 中的开集和闭集试问在 R3,中 E 是否仍为开集？F 是否仍为闭集？,R2 中没有直接对应的命题？,4. 为什么说 “在一切平面点集中，只有 R2 与,是既开又闭的点集” ？,试为之写出证明,6.,
