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1、13.1导数的概念及运算,(A)函数f(x)在点x0处的导数的概念,则称y=f(x)在点x0处可导，并称称此极限值为函数y=f(x)在x0处的导数.,(B)由定义求点求函数y=f(x)在x0处的导数的方法：,1.导数的概念,2，导(函)数的概念：,这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f (x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作:f (x),如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导,3，f (x0)与f (x)
2、之间的关系：,当x0(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0)，,重要结论：如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点X0处_.,等于_在点x0处的函数值。,(2)物体在t0时刻的瞬时速度:,(1)曲线在P(x0,y0)的切线斜率:,4.导数的实际意义：,(3)物体在t0时刻的瞬时加速度:,5.几种常见函数的导函数：,公式3 (sinx)=,公式4 (cosx)=,公式1 C = (C为常数),公式2 (xn) = (nQ),6,函数四则运算的导数：,(1)和(或差)的导数:,(2)积的导数:,(3)商的导数:,7,复合函数求导:,13.2导数的应用,1.函数
3、的单调性,(1)一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,(2)利用结论求可导函数单调区间的一般步骤：,求函数的_.,求f(x),令f(x)=0,_， 求出它在定义域内的实根.,利用上面的实根把_分成若干小区间.,确定f(x)在各小区间内的_,根据f(x)的 _判断函数f(x)在相应小区间上的单调性.,2.可导函数的极值.,一般的，设函数f(x)在点x0_，,如果对x0附近的_，都有_,则f(x0)是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f(x0),如果对x0附近的_，都有_,使函数取得极值的点x0称为_,(1)函数极值的概念：,则f(x0)是函数f(x)的一个极小值, 记作y极小值=
4、 f(x0),求_,求_,(2)可导函数极值的判断,一般地,当f(x)在点x0处连续时,A.如果在x0附近的左侧f (x)_0，右侧f (x)_0，,则f (x0 )是极大值；,B.如果在x0附近的左侧f (x)_0，右侧f (x)_0，,则f (x0 )是极小值；,(极值即峰、谷处的值）,(3)求可导函数极值的步骤：,判断方程根左右导函数的正负,求出极值.,小结：极值点发生在单调性改变的位置.,求原函数_,例 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。,解：,发现f(x0)=0时，x0_是极值点.,若极值点处的_存在，则一定有f (x0)=0 .,3,极值与f (x0)=0的关系：,(1) f
5、 (x0)=0时，,f(x0)_是极值.,(2)f(x0)是极值时，,_有f (x0)=0.,例：如图x4的位置,没有切线(此点不可导).,(3)若极值点处的_存在，则一定有f (x0)=0 .,(2)极值与最值有何关系：,极限是_概念；最值是_概念。,极值_是最值，最值也_是极值,4.函数的最大值与最小值,(1)连续函数的最大值和最小值定理：,f(x)在闭区间 a , b上有最大值和最小值。,如果f(x)是闭区间a , b上的连续函数，那么,(3)求可导函数的最值的步骤：,设函数f(x)在a , b上连续，在(a , b)内可导,求 f(x) 在_；,将f(x)的极值点的_与_比较；,最大的
6、一个是最大值，最小的一个是最小值。,以下为完整版,13.1导数的概念及运算,(A)函数f(x)在点x0处的导数的概念,则称y=f(x)在点x0处可导，并称称此极限值为函数y=f(x)在x0处的导数.,(B)由定义求点求函数y=f(x)在x0处的导数的方法：,1.导数的概念,2，导(函)数的概念：,这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f (x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作:f (x),如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区
7、间 (a,b)内可导,3，f (x0)与f (x)之间的关系：,当x0(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0)，,重要结论：如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点X0处_.,等于_在点x0处的函数值。,(2)物体在t0时刻的瞬时速度:,(1)曲线在P(x0,y0)的切线斜率:,4.导数的实际意义：,(3)物体在t0时刻的瞬时加速度:,连续,导函数f (x),5.几种常见函数的导函数：,公式3 (sinx)=cosx,公式4 (cosx)= -sinx,公式1 C = 0 (C为常数),公式2 (xn) =nxn-1 (nQ),6,函数四则运算的导数：,(
8、1)和(或差)的导数:,(2)积的导数:,(3)商的导数:,7,复合函数求导:,13.2导数的应用,1.函数的单调性,(1)一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,(2)利用结论求可导函数单调区间的一般步骤：,求函数的_.,求f(x),令f(x)=0,_， 求出它在定义域内的实根.,利用上面的实根把_分成若干小区间.,确定f(x)在各小区间内的_,根据f(x)的 _判断函数f(x)在相应小区间上的单调性.,定义域,解此方程,定义域,符号,符号,2.可导函数的极值.,一般的，设函数f(x)在点x0_，,如果对x0附近的_，都有_,则f(x0)是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f(
9、x0),如果对x0附近的_，都有_,使函数取得极值的点x0称为_,(1)函数极值的概念：,则f(x0)是函数f(x)的一个极小值, 记作y极小值= f(x0),所有点,f(x)f(x0),所有点,f(x)f(x0),附近有定义,极值点,求_,求_,(2)可导函数极值的判断,一般地,当f(x)在点x0处连续时,A.如果在x0附近的左侧f (x)_0，右侧f (x)_0，,则f (x0 )是极大值；,B.如果在x0附近的左侧f (x)_0，右侧f (x)_0，,则f (x0 )是极小值；,(极值即峰、谷处的值）,(3)求可导函数极值的步骤：,导数f (x),方程f (x)=0的根,判断方程根左右导
10、函数的正负,求出极值.,小结：极值点发生在单调性改变的位置.,求原函数_,定义域,例 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。,解：定义域为R， y=6x(x2-1)2,由y=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1,当x变化时，y , y的变化情况如下表：,因此，当x=0时， y极小值=0,+,+,无极值,极小值,无极值,发现f(x0)=0时，x0_是极值点.,若极值点处的_存在，则一定有f (x0)=0 .,不一定,导数,3,极值与f (x0)=0的关系：,(1) f (x0)=0时，,f(x0)_是极值.,(2)f(x0)是极值时，,_有f (x0)=0.,例：如图x4的位置,没有切线(
11、此点不可导).,(3)若极值点处的_存在，则一定有f (x0)=0 .,不一定,不一定,导数,(2)极值与最值有何关系：,极限是_概念；最值是_概念。,极值_是最值，最值也_是极值,4.函数的最大值与最小值,(1)连续函数的最大值和最小值定理：,f(x)在闭区间 a , b上有最大值和最小值。,如果f(x)是闭区间a , b上的连续函数，那么,局部,区间,不一定,不一定,(3)求可导函数的最值的步骤：,设函数f(x)在a , b上连续，在(a , b)内可导,求 f(x) 在_；,将f(x)的极值点的_与_比较；,最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。,(a , b)内的极值,极值,端点值f(a), f(b),
