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1、1,导数与函数的最大(小)值,北师大版高中数学选修2-2第三章导数应用,河北隆尧第一中学,2,一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程：,3,必要条件,（一）、知识回顾:,4,f(a),f(b),极大值点和极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值,函数极值的判定定理,5,结合课本练习思考,极大值一定比极小值大吗？,极值是函数的
2、局部性概念,结论：不一定,极大值,极小值,极小值,6,导数的应用之三:求函数最值.,在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.,（二）、新课引入,问：最大值与最小值可能在何处取得？,怎样求最大值与最小值？,观察极值与最值的关系：,7,函数的最值,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间a，b上的最大值、最小值吗？,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,8,
3、在闭区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.,9,(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),（三）、新课探析:,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函
4、数的最值.,10,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).,(4)如果函数不在闭区间a,b上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.,11,o,x,y,a,b,o,x,y,a,b,o,x,y,a,b,o,x,y,a,b,y=f(x),y=f(x),y=f(x),y=f(x),在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最
5、小值.,12,例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的最大值和最小值.,法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理,（四）、知识运用:,一是利用函数性质；二是利用不等式；三是利用导数。,注：,求函数最值的一般方法：,13,例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的极值与最值,故函数f(x) 在区间1，5内有极小值为2，最大值为11，最小值为2,法二、,解、 f (x)=2x-4,令f (x)=0，即2x-4=0，,得x=2。,-,+,3,11,2,14,如果函数 f (x)在a, b上单调增加(减少)，则 f (a)是 f(x)在a, b
6、上的最小值(最大值)，f (b)是 f (x)在a, b上的最大值(最小值)。,函数的最值一般有两种情况：,（1）,15,如果函数在区间(a, b)内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间a, b上的最大(小)值。,函数的最值一般分为两种情况：,(2)如果函数在区间(a, b)内有极值,将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.,16,求函数在闭区间内的最值的步骤,求出函数 y = f (x)在(a , b)内的全部驻点和 驻点处的函数值；,(2) 求出区间端点处的函数值；,比较以上各函数值，其中最大的就是函
7、数 的最大值，最小的就是函数的最小值。,例1:求,解:,令 , 解得x1=-2 , x2=2.,-4/3,+,在0,3的最大值与最小值,4,0,1,因此,函数在0,3上的最大值是4，最小值是- 4/3.,三、例题讲解,+,当 , 即 , 或 ;当 , 即 .,24,求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。,最大值 f (1)=29，最小值 f (3)= 61,课堂练习：,28,求函数 在 内的极值；,1. 求 在 上的最大值与最小值的步骤:,求函数 在区间端点 的值；,将函数 在各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,小结,2.求函数最值的一般方法：.是利用函数性质；.是利用不等式；.是利用导数,29,祝同学们学习进步,
