《导数的定义ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数的定义ppt课件.ppt（38页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第二章 导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Fermat 在研究,极值问题中提出.,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),英国数学家 Newton,一、导数（微商）的背景,t 很小，速度近乎均匀，则,2.1 导数概念,1.自由落体运动的瞬时速度问题,割线的极限位置切线位置,切线,2.切线问题,过点M做割线MN，当N沿曲线C向M滑动时， 若割线MN极限位置MT存在， 则称直线MT为曲线C在M处的切线.,切线可看作曲线上过某定点的一系列割线的极限位置。,抽去具体的物理、几何内容，从抽
2、象的数量关系来看, 都归结为下面形式的极限,二、导数概念,1.导数定义,(1),(2),(3),例3 求函数y=f(x)=x在x=2的导数。,解 用（1）式.,在x=2处，当自变量有改变量x时,相应的函数改变量为,y =f(2+ x) f(2),=2+ x2,=x,因此，在x =2处函数y =x的导数,=1,用（2）式.,=1,练习：求函数 在 的导数,2.单侧导数,例4 讨论函数f(x)=|x|在x=0处是否可导。,解 由于f(0)=0，根据左导数与右导数的定义,= 1,= 1,因为,所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导。,函数f(x)在点x0的导数 ，,正是该函数的导数 在该点x0的值
3、 ，,即,类似可以得出,例5 求函数y=x3在x=2的导数y，并求y|x=2 。,解 先求导函数,将x=2代入导函数中求出导数值,=12,例6 求常量函数y=C的导数。,解 对函数y=C在定义域上的任意一点x，,若自变量有改变量x，,则相应的函数改变量为,y=CC=0,于是,即有常量函数的导数公式,（C）=0,练习：P.41 2 （1）（2）（3）,证：,例7 设函数y = ，证明,特别地，当a =e时，有导数公式,例8 设函数 y=sinx，,证明：y=cosx,即 (sinx)=cosx,用同样的方法可得 (cosx)= sinx,证明：,练习：P.41 3 （1）（2）（3）,3. 导数
4、的几何意义与物理意义,(1)几何意义,切线方程为,法线方程为,(2)物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,交流电路:电量对时间的导数为电流强度.,非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,解：,可得,例9 求曲线y =x3在点(2,8)处的切线方程和法线方程。,y=3x2，,y|x=2=12.,所以，切线方程为,y 8=12(x 2),或 12x y 16=0,或 x +12y 98=0,法线方程为,练习：P.41 4 （1）,三、可导与连续的关系,推论 凡可导函数都是连续函数.,证,可导 = 连续,例,问题 连续
5、函数是否可导？,连续,可导,而,不可导,1. 可导 = 连续= 极限存在 2. 极限不存在=不连续=不可导,极限存在：,连 续：,可 导：,例11 讨论 在 x =1及 x=2 处的可导性。, f(x)在x=2极限不存在，因此不连续,也不可导,对于 x=1:,小结,导数定义用定义求导数的方法导数的实际意义可导与连续,(1)求增量y,(2)求比值,(3)求极限,作业,P41 A组：1 （2） 2 （2）（4）（5） 3 （2）（4） 4 （3）（4）,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,
