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1、第十九讲 数论问题,知识点梳理,我们常见的形式有数字谜，计数，行程，综合应用题等。涉及到我们学过的因数、倍数、余数、分解质因数、整除性等知识点。所以要求同学们一定打好基础，熟练掌握，才能灵活应用。解决数论题目的主要方式就是分解质因数(把合数表示质数乘积的形式)，我们一定要有分拆、分解、分类讨论的思想意识。,一、 整除的特征：（1）2的倍数特征：末位数是0、2、4、6、8的数.（2）3、9的倍数特征：各位数之和是3的倍数或9的倍数.（3）5的倍数特征：末位数是0或5.（4）4的倍数特征：末两位数是4的倍数.（5）8的倍数特征：末3位数是8的倍数.（6）11的倍数特征：奇位数字之和与偶位数字之和的
2、差是0或11的倍数.,二、分解质因数：指的就是把一个合数表示成质数乘积的形式的过程。 唯一分解定理：那么N的因数个数n=（1+p1）(1+p2) (1+pn) 三、辗转相除法 辗转相除法主要针对两个较大数求最大公因数而言的。 就是用其中较大数除以较小数，得余数r1;接下来每一步都用上一步的除数除以余数r2以此类推，直到除尽为止，最后一步除数就是它们的最大公因数。,典型例题精讲,例1. 9600共有多少个因数？,解 析,9600= 因数个数=（7+1）（1+1）（2+1） = 48（个）,例2. 七位数A1994BC能被9, 5和8整除，试确定数字A、B、C的值。,解 析,（1）此七位数可被5整
3、除,则个位必须为0或5; 此七位数又可被8整除,则个位数C一定是0. （2）七位数可被8整除,则后三位数4B0可被8整除, 故B只能为0、4或8。 （3）七位数又能被9整除,则各位数字之和可被9整除. 故当B=0时,A=4; 当B=4时,A=9; 当B=8时,A=5. 所以符合条件的七数为4199400、9199440或5199480。,原数：A1994BC,例3. 求2821和1519的最大公因数。,解 析,辗转相除法求最大公因数28211519=1130215191302=12171302217=6（2821,1519）=217,例4.有一个三位数，被4除余1，被5除余4，被7除余2，这个
4、数最小是多少？,解 析,设这个数为X, X4=A1 X5=B4 X7=C2 每个算式中，每次商减一，余数就增加一个除数，这样可以得到同余是“9”，再求4、5、7的最小公倍数是140，再加9等于149。,例5. 要使1858413552（ ）乘积的末五位数都是0，（ ）中应填入的自然数最小值是多少？,解 析,要使乘积末五位都是0，就要使这五个因数中有5个2和5个5。所以要把这四个数分解质因数，看缺少几个5和几个2，括号里就填出它们的乘积。 解: 185=537 共有4个2和2个5 135=527 缺少3个5和1个2 84=2221 5552=250 52=2213 答：括号里填250。,例6.
5、有一个整数，用它去除70、110、160所得的三个余数之和是50，这个整数是多少？,解 析,把三个数加起来的和减去50，把所得的差分解，可以求出这个整数。 70+110+160-50=290 290=2910 这个整数就是29。,例7. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克如下:8、9、10、11、12、13。已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?,解 析,每个瓶子称3次，所以把称量的结果之和除以3得到各称量一次的和。 8+9+10+11+12+13=63（千克）， 633=21 （千克）， 21= 19+2， 所以油重1
6、9千克，四只瓶子共重2千克， 每只瓶重25=0.5千克， 最重的是13-0.52=12千克。,例8. 商店有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中的5箱，其中一个顾客买走的货物质量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的这箱货物重多少千克？,解 析,因为拿走的一定是3的倍数，把所有的数加起来，再减去20才是3的倍数，所以，剩下的是20千克。 15+16+18+19+20+31=119千克 1+1+9=11 11不是3的倍数， 11-2=9 ， 9是3的倍数。 答：剩下的是20千克。,例9. 两个自然数的积是5766，这两个数的最大公因数是31，
7、求这两个数。,解 析,两个数的乘积等于最大公因数和最小公倍数的乘积，所以，用它们的积除以最大公因数等于最小公倍数，再用最小公倍数除以最大公因数，将得数分解质因数，再乘以最大公因数就是所求的这两个数，注意讨论符合条件的数可能不止一组。 57663131=6 6=23=16 131=31, 631=186; 231=62, 331=93 答案有两组：31,186和62,93，,例10. 某校2012年的学生人数是个完全平方数，2013年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数。该校2013年的学生人数是多少人？,解 析,设2012有学生 人，2013年有学生 人， （y+x)(y-x)=101 101=1011 y=51 x+y=101 x=50 y-x=1 5151=2601（人）,课后作业,2001个连续的自然数之和为abcd，若a、b、c、d都是质数，则a+b+c+d的最小值是多少？,祝你学习愉快！,
