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1、,一、基本内容,二、小结,三、思考题,第二十四节 分部积分法,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分(integration by parts)公式,一、基本内容,1)v 容易求得 ;,容易计算 .,例1 求积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例3 求积分,解,令,例4 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .,练
2、习 求,解,解题技巧:,把被积函数视为两类函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,例5. 求,解: 令, 则,原式 =,反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数,练习. 求,解: 令, 则,原式 =,练习 求,解,例6 求积分,解,例7 求积分,解,注意循环形式,例8 求积分,解,令,解,练习 求,令,则,.,.,解,循环,提示： 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递推公式 .,解,当n1时, 用分部积分法, 有,例10,即,回归,解,两边同时对 求导, 得,二、不定积分在经济分析中的应用,例1 已知某企业的某种产品在产量为q（单位：千
3、件）时的边际成本函数为,且固定成本为90万元，求总成本函数。,解：总成本函数一般形式：,总成本等于可变成本与固定成本之和，当产量为零时，可变成本为零，此时总成本为固定成本90,即C（0）90.代入总成本函数的一般形式，有,所以，C=80.,总成本函数的表达式为,21,例2 已知某集团公司生产的某种产品的边际收入是64q-q2 (单位：万元百台)，其中q是售出的产品数量（单位：百台），求其收入函数。,解：收入函数一般形式,销售量为0时，收入为0,即R(0)=0.代入收入函数的一般形式，有,得，C=0,收入函数的表达式为：,例3 设某商品的需求量Q是价格p的函数，该商品的最大需求是1000（即当p=0时，Q1000）。已知需求量的变化率(边际需求)为,求需求量Q与价格p的函数关系。,解：已知需求量的变化率 ，求需求量函数，即求不定积分。有,23,由已知条件，p=0,Q=1000,代入上式得C=0.得到需求对价格的函数,合理选择 ，正确使用分部积分公式,三、小结,思考题,在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？,思考题解答,注意前后几次所选的 应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,练 习 题,练习题答案,36,课后练习,
