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1、第四章 中值定理及导数的应用,4.1微分中值定理,4.2洛必达法则,4.3用导数研究函数的单调性、极值、和最值,4.4函数曲线的凹向及拐点,4.5曲线的渐近线与函数作图,4.6导数在经济学中的应用,4.1微分中值定理,证明,1) 若,可取(a, b)内任一点作 为,2) 若,M , m,至少有一个要在,内取得.,即,所以,证毕.,根据极限的保号性得,所以,证毕.,几何意义:,在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上,若除端点外处处有不垂直于 x 轴的切线,则此曲线弧上至少有一点,在该点处的,切线是水平的.或者说切线,与端点的连线AB平行.,罗尔定理的三个条件是结论成立的充分条件,注意：该题辅助函数
2、的寻找过程是一种常用方法,罗尔定理的几何意义,二、拉格朗日 (Lagrange) 定理,或,（2）,至少有一点,（1）,证明,易见,在,上连续，,在,内可导，,且,构造辅助函数,根据罗尔定理,使,即,亦即,分析,要证,即证,即证,令,只须证,a,b,x,几何意义：,在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂直于 x 轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点C，在该点处的切线与连接两端点的弦平行.,1). 若令,则,于是拉格朗日公式可写成:,2). 若令,则得有限增量公式:,说明,验证,在开区间,内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,即,即的确在 (0,1) 内 找到,使定理成立.,应用定理知,例5 验
3、证拉格朗日中值定理对函数,在区间 0,1 上,的正确性,并求,设函数f(x)在0，3上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在,，使,时,例7 证明: 当,证明 设,对,在,上应用中值定理, 使,即,因,所以,即,证明,不妨设,使,所以,对,证明,由定理知,即,若函数,满足:,则在,内至少存在一点,使,成立.,1) 在闭区间,上连续;,2) 在开区间,内可导;,且,三、柯西(Cauchy)中值定理,例设,至少存在一点,使,证: 结论可变形为,设,则,在 0, 1 上满足柯西中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使,即,证明
4、,4.2洛必达法则,例1,例2,解,解,不是未定式, 不能盲目应用罗比塔法则,注意,2) 对,例4 求,解,例7 求,练一练,定理2,说明,其他未定式:,解决方法:,取对数,例1. 求,解: 原式,例2,解,例3,解,练一练,c,d,(c,f(c),(d,f(d),Y=f(x),4.3用导数研究函数的单调性、 极值、和最值,一、函数单调性的判别,证,应用拉格朗日中值定理,例如,在定义域内单调递增,注意：,不存在，,如何求函数的单调区间？,确定函数单调区间的方法和步骤:,解 (1) 定义域,例1 确定函数,的单调区间.,令, 得,(2),增,减,增,单减区间为:,解 (1) 定义域,例2 确定函
5、数,的单调区间.,(2),令, 得,不存在,(3) 列表:,增,减,增,函数,的单增区间为:,单减区间为:,二、函数的极值与最值,设 f(x) 在区间 (a, b) 内有定义,都有,极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,若存在,1),2),函数的极值的定义,定义2,注意,1) 函数的极值概念是局部性的,2) 函数的极值可能有多个,3) 函数的极大值可能比极小值小,4) 函数的极值不在端点上取,定理1极值存在（必要条件）,由定义知,条件必要而不充分.,即导数为零的点未必是极值点.,注意,说明,1）导数不存在的点也可能是函数的极值点.,2）极值点只可能在驻点或导数不存在的点取到
6、。,定理2 (极值存在的第一充分条件),处没有极值.,求函数极值的方法和步骤:,(1) 确定,(3) 列表考察这些点左右区间上 的符号，利用定理3判别所找点是否极值点,并判别极大(小)值.,解,得,列表:,极大值为:,极小值为:,解,利用单调性证明不等式,例3 证明不等式,证明 令,4.4函数曲线的凹向及拐点,定义2,问题：如何确定曲线的凹向呢？,我们得到：曲线的凹向与一阶导数的单调性相关，从而可以用二阶导数的符号判别.,推论,列表：,上凹,下凹,上凹,是拐点,非拐点,令,得,的拐点及凹向区间.,例2 求曲线,解 定义域为:,不存在.,不存在,解,不存在.,时,时,时,问题：如何求曲线的凹向区
7、间呢？,是拐点,判断曲线 y=lnx 的凹向性？,定理 3 （极值存在的第二充分条件）,则,为极大值;,为极小值.,证明,设 则当 时，,由极限的保号性得 当 属于 的某邻域时,因此当 时,当 时,所以,为极小值.,解 令,得,所以有极小值:,定理3失效,用定理2判断.,时,不是极值点,时,不是极值点,注意：,一、曲线的渐近线,4.5 曲线的渐近线与函数作图,定义1,渐近线的种类：,思考,1、水平渐近线,对于函数 ，若,则称直线 为曲线 的一条水平渐近线。,定义2,解,2、垂直渐近线,对于函数 ，若,则称直线 为曲线 的一条垂直渐近线。,解,定义3,解,3、斜渐近线,定义4,解,解,二、函数图
8、形的描绘,一般步骤:,1 确定函数的定义域,2 讨论函数的奇偶性、周期性,3 求出曲线的渐近线,令,得,令,得,2),3) 列表:,4) 找渐近线:,因, 故直线,为垂直渐近线.,因,故直线,为水平渐近线.,5) 计算,得点:,补充点:,讨论方程 的根,例试讨论方程 的实根,解：设,方程无实根。,函数 单调递增，且,方程有唯一的实根。,令,得,所以极小值为,而,方程无实根。,因此 是方程唯一的实根。,因此方程有两个不等的实根，分别属于,综上可得：,方程有唯一的实根，,方程无实根，,方程有两个不等的实根。,(三)最值的求法,上取得最大值和最小值.,则必在,x,y,o,求最值的方法:,1 求出最值
9、点的存在范畴：端点、驻点、导数不,3 比较这些函数值的大小,其中最大者与最小者就是,说明,4.6 导数在经济学中的应用,1 成本最小,2.存货控制问题,由上式可知，订货批量越大，则订货次数越少，订货成本越少，但存储费用随之增加。如何确定一个最优的订货批量，使存货成本最小呢？,例3 某商店每年销售某种商品 a 件，每次购进的手续费为 b 元，而每件商品每年库存费为 c 元。在该商品均匀销售的情况下，问商店应分几批购进此种商品，能使所需手续费及库存费之和最小？,解 设每批购进 x 件商品，所需总费用为 y 元。则,得,批数为 时，费用最小。,因为,所以,因此,3. 最大利润原则,边际收益等于边际成本,边际收益的变化率小于边际成本的变化率,
