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1、1.1集合 1.2函数及其表示 1.3函数的基本性质,第一章 集合与函数概念,点此播放讲课视频,1.1.1 集合的含义及表示,元素的定义:我们把研究的对象统称为元素 例如:研究1到20之间的整数,这20个数字就是元素 集合的定义:把一些元素组成的总体叫做集合 例如:研究1到20之间的整数,这20个数就是一个集合,点此播放讲课视频,集合的性质 1.互异性:集合中的元素不重复出现 2.确定性:给定一个元素,在不在这个集合中就确定了 3.无序性:集合中的元素在集合内部没有固定的位置,判断下列命题是否正确 a.“中国的大城市”是一个集合 (错) b.“自然数”是一个集合 (对) c.“所有的正方形”是
2、一个集合 (对) d.“有文化的人”是一个集合 (错) e.“大于3小于11的偶数”是一个集合 (对) f.“ a,1,4, 6 其中a为常数”构成集合 (错),点拨:1a、 d.不满足确定性,所以是错误 2当f=1或4或6时都不满足不重复性,所以不是集合,集合与元素的关系 a.如果a是集合A的元素就说a属于A 记作:aA b.如果a不是集合A的元素就说a不属于A,集合地表示 1.列举法:把元素一一列举出来 例如:23,3,48,4,6 2.描述法 a.自然语言描述 例如:1到20的整数 b.数学语言描述 例如:x |x20 ,牢记的常用集合 正整数集 N* 自然数集 N 整数集 Z 有理数集
3、 Q 实数集 R 虚数集 C,1.1.2 集合间基本关系,子集的定义:如果A的全部元素都在B中,称A为B的子集子集的表示:Venn图(韦恩图)真子集:如果A包含于B,且存在元素x在A中但不在B中,称这时的子集为真子集空集:不含任何元素的集合叫做空集,包含、包含于、不包含、不包含于的区别 a.如果A是B的子集,称A包含于B或B包 含A b.如果A不是B的子集,称A不包含于B或B不包含A,例如:判断下列两个集合的关系 (1)A=1,2,4,B=x |x是8 的约数; (2)A=x |x是4与10的公倍数,x是自然数,B=x |x=20m,m为自然数,规定:(1)空集是任何集合的子集 (2)空集是任
4、何非空集合的真子集 易见:任何一个集合是它本身的子集,都 不是它本身的真子集,传递性:包含、属于、相等 ( 定义留给同学们自己练习写出),集合相等:如果A的全部元素在B中,如果B的全部元素在A中,称A等于B ;记作A=B,例如:写出集合a,b,c的所有子集。 注意:既然已经说是集合,就有a,b,c互不相同,点此播放讲课视频,1.1.3 集合的基本运算,并集:由所有属于A或属于B的元素组成 的集合 叫做A与B的并集,记作AB(读作“A并B”),即AB=x |xA, xB交集:由所有属于A且属于B的元素组成 的集合叫做A与B的交集,记作AB(读作“A并B”),即AB=x |xA且 xB并集:由所有
5、属于A或属于B的元素组成 的集合 叫做A与B的并集,记作AB(读作“A交B”),即AB=x |xA, xB补集:由所有属于A但不属于B的元素组成 的集合叫做A与B的补集,全集:把补集中最大的集合叫做全集 例如:给出集合A=x |x是小于9的正整数,B=y |2y6,求出集合A、B、B在A中的补集 注意到补集不是单独存在的,可能因全集的不同而不同,在说补集时不需要说清楚全集,,1.2.1 函数的概念,看下面的例题: 在战争中,一枚炮弹发射后,经过26秒落地击中目标,炮弹在飞行过程中达到最高高度845米,且炮弹距离地面的高度h(单位:米)随时间t(单位:秒)变化的规律是 这里,炮弹飞行时间t的变化
6、范围是数集A=t|0t26炮弹距离地面的高度h变化范围是数集B=h|0h845.从问题的实际可知道,对于数集A中的任意一个t,按对应关系,在数集B中都有唯一的高度h和它对应.,上述问题可总结为:对于数集A中的每一个x,按照某种对应关系f,在数集B中都有唯一的y和它对应,记作 f:AB 一般地,设A,B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任何一个x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:AB为集合A到B的一个函数,记作 y=f(x),定义域:把自变量x的取值范围叫做定义域值域:把函数值y组成的集合叫做值域 易见,定义域是A的子集; 值域是B的子集.,一个函数
7、由定义域、值域、对应法则唯一确定,但值域由对应法则和定义域唯一确定,所以,函数由定义域、对应法则唯一确定 两个函数相等当且仅当定义域和对应法则相同,问(1)y=k x+b确定的对应数不是函数, 假如是写出对应法则、值域、定义域. (2) 确定的对应数不是 函数,假如是写出对应法则、值域、 定义域. (3) 确定的对应数不是函数, 假如是写出对应法则、值域、定义域.,闭区间:满足axb的实数x的集合叫做闭 区间,表示为a , b开区间:满足axb的实数x的集合叫做开 区间,表示为(a , b)半开半闭区间:满足axb或 ax b的实 数x的集合叫做半开半闭区间,表 示为(a , b或a ,b),
8、1.2.2函数的表示,解析法:用数学表达式表示两个变量之间 的对应关系图像法:用图像表示两个变量之间的对应关 系列表法:列出表格来表示两个变量之间的对 应关系,点此播放讲课视频,函数的本质: 两个数集间的一种对应关系; 把数集扩充到任意集合,函数变成映射 一般地,设A,B是集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任何一个x,在集合B中都有唯一确定的元素 y 和它对应,那么称f:AB为集合A到B的一个映射,1.2.3 单调性与最值,增函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个变量 , ,当 时有f( ) f( ),那么就说f(x)在区间D上是增函数减函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个变量 , ,当 时有f( ) f( ),那么就说f(x)在区间D上是减函数,单调性、单调区间 如果函数y=f(x)在D 上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)在这一区间有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f(x)的单调区间.例如:一次函数y=f(x)的单调性 解:在定义域上单调递增,例如:求 的单调性 解:函数在y轴左侧下降 函数在y轴右侧上升 函数在x |x0单调递增,点此播放讲课视频,