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1、3.1勾股定理（1）,八年级数学（上册）苏科版,三 感悟创新,今天我们来认识“它”,（1）3000年前，“它”被周朝的数学家商高 所描述。所以中国人曾经称它为商高定理。,（2) 2500年前，“它”被希腊数学家毕达哥拉斯从地板的拼图中发现并证明。所以西方人称它为毕达哥拉斯定理。,(3) 现存世界有400多种方法证明了“它”的正确性。美国第二十任总统伽菲尔德寻找到一种证明“它”的方法。,(5)近现代世界各国的科学家将“它”和人类的形象一起刻在镀金的铂板上。放飞到外太空，作为人类与外星人交流的语言.,(4)1955年希腊发行了一款以“它”为主题图案的邮票。,“它”究竟指的是什么？,（6）2002年
2、国际数学家大会的会徽是以“它”为思想设计的。,（图中每个小方格代表一个单位面积）,图1-1,图1-2,（1）观察图1-1 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积。,正方形B的面积是 个单位面积。,正方形C的面积是 个单位面积。,9,9,9,18,1,2,3,（2）（3）,分割成若干个直角边为整数的三角形,（单位面积）,返回,（单位面积）,把C看成边长为6的正方形面积的一半,返回,（2）在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？,（3）你能发现图1-1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？,SA+SB=SC,即：两条直角边上的正方形面积之和等于
3、斜边上的正方形的面积,（1）观察图1-3、图1-4，并填写右表：,A的面积（单位面积）,B的面积（单位面积）,C的面积（单位面积）,图1-3,图1-4,16,9,25,4,9,13,做一做,幻灯片 9,分割成若干个直角边为整数的三角形,（面积单位）,幻灯片 7,（2）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？,SA+SB=SC,即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积,幻灯片 7,（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？,（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。,（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中
4、的规律对这个三角形仍然成立吗？,议一议,勾股定理（gou-gu theorem),如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么,即 直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方。,a,b,c,概括,对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.,揭示了直角三角形三条边的关系,a,b,c,几何语言：在RtABC中 C=90（已知）a2+b2=c2（勾股定理）,勾股定理:,勾股定理的由来,这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中
5、国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作周髀算经中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五。“什么是”勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作商高定理。毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里
6、德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”）,走进数学史,毕达哥拉斯,二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派证明了这个勾股定理，所以勾股定理又被称为“毕达哥拉斯定理”，不过毕达哥拉斯的发现比中国晚了500多年。,勾2 + 股2 = 弦2,股,勾,求下列直角三角形中未知边的长:,8,x,17,12,5,x,例题精讲,解：在直角三角形中， 由勾股定理可得： 52+ 122= X2 即：X2=52
7、+122 x=13,解：在直角三角形中， 由勾股定理可得： 82+ X2=172 即：x2=172-82 X=15,1求下列图中未知数x、y、z的值：,试一试,2。根据图中正方形面积的数值，计算出正方形S1,S2的面积。,S1=64,S2=233,比一比看看谁算得快！,2.求下列直角三角形中未知边的长:,可用勾股定理建立方程.,方法小结:,24,x,25,16,20,x,8,6,x,求下列直角BCD中未知边的长。,3,4,5、如图，在直角ABC中, ACB=90, CD是高，AC=3m,BC=4m,则线段CD的长为多少米？,A,B,C,D,台风袭击中，一棵大树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离
8、树根底部12米处。这棵树原来有多高？,台风袭击中，一棵大树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处。这棵树原来有多高？,7、 如图, 一块长约 80m、宽约 60m 的长方形草坪，被一些人沿对角线踏出了一条“捷径”，类似的现象也时有发生请问同学们：,算一算,1走“捷径”的客观原因 是什么？为什么？,2“捷径”比正路近多少？,勾股定理的由来,这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作周髀算经中记录着商高同周公的一段对话。商高说：
9、“故折矩，勾广三，股修四，经隅五。“什么是”勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作商高定理。毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯
10、定理”，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”）,走进数学史,勾股定理的证明,勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
11、 现在在网络上看到较多的是16种,包括前面的6种,还有: 欧几里得证明、 利用相似三角形性质证明、 杨作玫证明、 李锐证明、 利用切割线定理证明、 利用多列米定理证明、 作直角三角形的内切圆证明、利用反证法证明、 辛卜松证明、 陈杰证明。,走进数学史,美国第二十任总统伽菲尔德,总统巧证勾股定理,返回,拓展延伸,=,如图，是由4个全等的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,你能用这个图形验证勾股定理吗？,勾股定理的证明方法,证法一,证法二,证法三,（邹元治证明）,（赵爽证明） 赵爽:我国古代数学家,走进数学史,勾股定理的证明方法,证法四,证法五,证法六,
12、（加菲尔德证明） 加菲尔德:第二十任总统,（梅文鼎证明） 梅文鼎:清代天文、数学家,（项明达证明） 项明达:清代数学家,走进数学史,用赵爽弦图证明,算一算,一架消防队的梯子长25m，在一次火灾中, 梯子的底部离建筑物15m，此时，梯子最高能到多少米？,如果每层楼高4m，要想救上一层的人，梯子的底部要向楼的方向推进多少米？,C,B,3.1勾股定理（1）,应用勾股定理,a,b,c,确定斜边,c2= a2+b2,？,a,c,b,确定斜边,b2= a2+c2,？,b,c,a,确定斜边,a2= b2+c2,？,应用勾股定理,c2=a2 +b2,a,b,c,?,?,b2= c2 - a2,a2= c2 -
13、 b2,灵活运用,知识点1 运用勾股定理解决有关线段或面积的问题 【例1】如图所示，在ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高线AD的长.,拓展延伸,【解题探究】(1)因为图中没有高线AD，作出高线AD，则得ABD和ACD是什么样的特殊三角形？它们的三边满足的关系式分别是什么？答：_.(2)已知AB，AC和BC，要根据勾股定理求AD，只需求出线段_的长.,直角三角形.在RtABD和RtACD中，关系式为,AD2+BD2=AB2，AD2+CD2=AC2,BD或CD,(3)因为AD是RtABD和RtACD的公共边，所以可以得AD2=AB2-BD2，还可以得AD2=_，进而能得到
14、怎样的等式？答：_.(4)如果设BD=x，则CD=_，可得方程_，解方程得_，再由勾股定理得AD=_.,AC2-CD2,AB2-BD2= AC2-CD2,14-x,132-x2=152-(14-x)2,x=5,12,【互动探究】本例(4)中得到的方程整理后是什么方程？怎样求解？提示：整理后为一元一次方程.先化简整理为一元一次方程，然后移项、合并同类项、化系数为1.,【跟踪训练】1.如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为()(A)32(B)64(C)16(D)128【解析】选B.设正方形的边长为a，由勾股定理可得，a2=172-152=64，所以正方形的面积为64.,2.如图，直线l上有
15、三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为_.,【解析】如图，因为ACB+ECD=90，DEC+ECD=90，所以ACB=DEC.因为ABC=CDE，AC=CE，所以ABCCDE，所以BC=DE，所以，根据勾股定理的几何意义，Sb=Sa+Sc，所以Sb=Sa+Sc=5+11=16答案：16,知识点2 勾股定理的变式与应用【例2】(8分)在RtABC中，C=90，两条直角边的和为17 cm，面积为30 cm2，试求这个直角三角形的斜边长.【规范解答】设直角ABC的两条直角边长分别为a，b，斜边为c， 1分由题意可得_=17，_=30， 3分所以c2=a2+b2= _=172-260=169,5分所以c=_. 7分即该直角三角形的斜边长为_ cm. 8分,a+b,(a+b)2-2ab,13,13,
