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1、报童模型Newsboys Model,邱灿华同济大学经济与管理学院,报童问题,一名报童以每份0.20元的价格从发行人那里订购报纸，然后再以0.50元的零售价格出售。但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而只是根据以前的经验，知道需求量具有均值为50份、标准偏差为12份的正态分布。那么他应当订购多少份报纸呢？,约会问题,您要与您的女朋友/男朋友晚上六点钟在她/他家附近的一个地方约会。您估计从您的办公室乘车过去所用的平均时间是30分钟，但由于高峰期会出现交通阻塞，因此还会有一些偏差。路程所用时间的标准偏差估计为10分钟。虽然很难量化您每迟到一分钟所造成的损失，但是您觉得每晚到1分钟要比
2、早到1分钟付出十倍的代价。那么您应当什么时候从办公室出发呢？,超额预售机票问题,一家航空公司发现，一趟航班的持有机票而未登机（“不露面”）的人数具有平均值为20人、标准偏差为10人的正态分布。根据这家航空公司的测算，每一个空座位的机会成本为100美元。乘客确认票后但因满座不能登机有关的罚款费用估计为400美元。该航空公司想限制该航班的“超额预订”。飞机上共有150个座位。确认预订的截止上限应当是多少？,有不确定因素的决策问题,这三个问题有以下几个方面的共同点：都有一个决策变量 X (报纸供应量；出发时间；多预售的座位）和一个随机变量 Y (报纸需求量；实际路程时间；持票而未登机人数）。这两个变
3、量共同决定结果。但是我们必须先选定 X 的数值，然后才能看到Y的数值。都有一个 X 大于 Y 的单位成本（过量成本） (未售出的报纸；一名因客满而未能乘机的乘客；提前一分钟）。都有一个Y 大于X 的单位成本（不足成本）(差一份报纸；一个空座；晚到一分钟）。都需要测算 Y 的概率分布。,公式推导,销售最后一件所得的收益大于或等于最后一件未被售出时所带来的损失。PYX*表示需求Y大于X*的概率。PYX*第X*件产品售出时所带来的收益；CoPYX*第X*件产品未售出时所带来的损失。,解法,缺货成本= Cu = 单位销售额-单位成本 过量成本 Co 原始单位成本-单位残值 该解法就是确定X的值 使Y
4、大于 X 的概率等于 “临界比率”。注意到 X* 会随着 cu 增加而增加。X* 会随着 co 增加而减少。,最优解是 X* ，满足以下等式：,报童问题的解,co = 0.20元， cu = 0.5 - 0.2 = 0.30元。最佳的 X* 应满足：根据正态表， z = 0.25。因此， X* = 50 + 0.25(12) = 53 份.,约会问题,您要与您的女朋友/男朋友晚上六点钟在她/他家附近的一个地方约会。您估计从您的办公室乘车过去所用的平均时间是30分钟，但由于高峰期会出现交通阻塞，因此还会有一些偏差。路程所用时间的标准偏差估计为10分钟。虽然很难量化您每迟到一分钟所造成的损失，但是
5、您觉得每晚到1分钟要比早到1分钟付出十倍的代价。那么您应当什么时候从办公室出发呢？,约会问题的解法,设 X 为允许的路程时间，设 Y 为实际路程时间。 X Y 就意味着会比约定时间晚到，因此, cu = 10co. 最佳的 X* 应当满足,根据正态表， z = 1.34 ，因此， X* = 30 + 1.34(10) = 43.4. 您应当在下午5点16分出发。,超额预售机票问题,一家航空公司发现，一趟航班的持有机票而未登机（“不露面”）的人数具有平均值为20人、标准偏差为10人的正态分布。根据这家航空公司的测算，每一个空座位的机会成本为100美元。乘客确认票后但因满座不能登机有关的罚款费用估
6、计为400美元。该航空公司想限制该航班的“超额预订”。飞机上共有150个座位。确认预订的截止上限应当是多少？,超额预售问题的解法,设 X 为超额预售的机票数，设 Y 为有票没来的人数。 X Y 就意味着超额预售的机票数超过了有票没来的人数。再多售一张机票就要蒙受400美元的损失， co = $. X Y 则意味着超额预订的数量小于没有登机的人数，预订数量减少一个就蒙受100美元的损失， cu = $100.。最佳的 X* 应当满足,根据正态表， z = -0.84。因此， X* = 20 - 0.84(10) = 12. 预售机票数不要超过150 + 12 = 162张。,报童问题 II,假定
7、报童已预购了53 份报纸(最优解)。因为第二天的报纸在发行中心已售罄，另一报贩愿以每份0.40元买入，有多少买多少。报童应当卖給该报贩多少份报纸？或应留多少份第二天出售？,报童问题 II的解,设 X为留作自售的份数， Y 为明天的报纸需求。. X Y 意味着留得太多，否则可以前一天卖给另一报贩，每份可赚0.40元，所以每份损失利润 co = 0.40 元。 X Y 意味着留得太少，每份前一天只卖了0.40元，留着可卖0.50元, 多卖 cu = 0.50-0.40 = 0.10元。 最 优解X* 应满足,查正态分布表得 z = -0.84. 所以应留 X* = 50 - 0.84(12) =
8、40，或应卖 53 - 40 = 13 份给另一报贩。,标准正态概率分布表,如何解决正态分布右端（或上端）概率问题？注意， z 是大于或小于均值的标准差数量，即：1. 已知 a, 要求出 y确定 z 的符号根据 a 或 1 - a.相对应的表格，求出 |z| 。,或,标准正态概率表,2. 已知 y, 要求出 a:计算出 z:然后在表中查到相应的概率 (prob) 。确定 a 0.5 或 a 0.5:设定 a = prob 或 a = 1- prob.,离散式分布的报童问题,某产品单件售价为200元，成本为常数，每件80元。未售出产品每件残值为20元。未来一段时间的需求量预计在3540件之间，35件肯定能售出，40件以上一定卖不出去，需求概率以及相关的累计概率分布（P）如表所示。问应该订购多少件？我们需要确定该产品的订货数量X*，使得销售数量Y大于X*的概率大于或等于Co/（Cu+Co），即找出一个概率最接近P（YX*）= Co/（Cu+Co）的X*值。过量成本 = Co = 8020 = 60缺货成本 = Cu = 20080 = 120Co/（Cu+Co） = 60/ （120+60） = 0.333,
