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1、fi(t),fi(t),m,m,fm(t) 静止（平衡）工作点作为,零点，以消除重力的影响,k,0 xo(t),0 xo(t),D fk(t) fD(t)机械平移系统及其力学模型,控制系统微分方程的列写机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：,d d,dt dt,2,2,m yo (t ) + D yo (t ) + kyo (t ) = fi (t ),式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。,显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。,R-L-C无源电路网络,L,
2、R,C,ui(t),uo(t),i(t),有源电路网络,i2(t),C,+,i1(t)R,ui(t),uo(t),a,即： RC,duo (t )dt,= ui (t ),三、拉氏变换和反变换拉氏变换Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工具！,2.3.1,定义拉氏变换,拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。,2.3.2简单信号的拉氏变换,1.单位阶跃信号 1(t),f(t),1,0,t,单位阶跃函数,f(t)1,2.指数函数,指数函数,t,2.3.3拉氏变换的性质,1、叠加性,齐次性：Laf
3、(t)=aLf(t)，a为常数；,叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t),a，b为常数；,显然，拉氏变换为线性变换。,2、微分性 （实微分定理）,式中，f (0)，f (0)，为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。,当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零,初始条件）：,3、积分定理,当初始条件为零时,lim f (t) 存在，则,7、终值定理,若sF(s)的所有极点位于左半s平面， 即,t ,t s0,lim f (t ) = f () = lim sF ( s), 拉氏反变换,（2）部分分式法,如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：,F
4、(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s),假定F1(s), F2(s), ，Fn(s)的拉氏反变换可,以容易地求出，则,L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s),= f1(t) + f2(t) + + fn(t),（1）配方法，拉氏变换反查表求原函数（例2-3）,1、单极点情况There are only single real poles in F(s),式中，Ai为常数，称为s = -pi极点处的留数。Ai = F ( s ) ( s + pi ) s = p i,于是,解：,例：求,的原函数。,四、传递函数及典型环节的传递函数,传递函数的概念和定义传递函
5、数,X o (s)X i (s),G(s) =,在零初始条件下，线性定常系统输出量的象函数与引起该输出的输入量的象函数之比。,典型环节及其传递函数,环节,具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。,任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。,比例环节：一阶微分环节：二阶微分环节：积分环节：惯性环节：振荡环节：,典型环节示例,2.4.1比例环节,输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。,其运动方程为：xo(t)=Kxi(t),xo(t)、xi(t)分别为环节的输出和输入量；,K比例系数，等于输出量与输入量之比。,2.4.2一阶惯性
6、环节凡运动方程为一阶微分方程,ddt,T,xo (t ) + xo (t ) = Kxi (t ),=,G( s) =,形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：,KTs + 1,X o ( s)X i ( s),式中，K环节增益（放大系数）；T时间常数，表征环节的惯性，和环节结构参数有关,2.4.4 积分环节输出量正比于输入量对时间的积分。,运动方程为：,=,传递函数为： G( s) =,X o ( s)X i ( s),式中，k为常数,2.4.5 二阶振荡环节含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：,传递函数：,式中，T振荡环节的时间常数阻尼
7、比，对于振荡环节，01K比例系数振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（K=1）：,n称为无阻尼固有角频率。,五、系统函数方框图,系统方框图是系统控制系统的动态数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各环节间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。,注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。,方框图的运算法则串联,并联,反馈,X o ( s) = G( s) E ( s),E ( s) = X i ( s) m B( s)B( s) = H ( s) X o ( s),方框图变换法则比较点的移动,比较点后移,比较点前移,规律一：各前向通道传递函数的乘积保持不变规律
8、二：各回路传递函数的乘积保持不变,引出点的移动,引出点前移,引出点后移,由方框图求系统传递函数,基本思路：利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。,第三章 时域瞬态响应分析,3.13.23.33.43.5,时域响应以及典型输入信号一阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应时域分析性能指标高阶系统的瞬态响应,进行拉氏反变换,3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入 xi (t ) = 象函数为 X i ( s ) =,则,图3-7 一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线,一阶惯性环节的单位阶跃响应,特点：(1) 稳定，无振荡；(2) 经过时间 T 曲线上升到 0.6
9、32 的高度；(3) 调整时间为 (34)T ；(4) 在 t = 0 处，响应曲线的切线斜率为 1/T；,(5),据此鉴别系统是否为一阶惯性环节。,3.3 二阶系统的瞬态响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它的典型形式是二阶振荡环节。,形式一：,n, 为阻尼比；为无阻尼自振角频率,形式二：,称为阻尼自振角频率。,1. 欠阻尼 0 1二阶系统的极点是一对共轭复根。,式中，,进行拉氏反变换，得,特点：1. 以d 为角频率衰减振荡；2. 随着 的减小，振荡幅度加大。,3.4 时域分析性能指标,时域分析性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬态响应形式给出的。,3. 超调量,M p,响应曲线的最大峰
10、值与稳态值的差与稳态值之比；单位阶跃输入时，即是响应曲线的最大峰值与稳态值的差。通常用百分数表示。,4. 调整时间 ts响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间。,M p,3. 求取,4. 求取 ts,以进入5%的误差范围为例，,解,得,当阻尼比 较小时，有,同理可证，进入2%的误差范围，则,有,第四章 控制系统的频率特性,4.1 机电系统频率特性的概念,4.2 极坐标图（Nyquist图）4.3 对数坐标图（Bode图）,4.4 由频率特性曲线求系统传递函数,4.7 控制系统的闭环频响,频率特性的定义,设系统传递函数为G ( s )。定义系统输出信号的稳态响应相对其正弦输入信号的幅值
11、之比A( ) = G ( j )为系统的幅频特性。幅频特性描述系统在稳态下响应不同频率的正弦输入时在幅值上的增益特性（衰减或放大）。,定义系统输出信号的稳态响应相对,其正弦输入信号的相移 () = G(j),为系统的相频特性。,相频特性描述系统在稳态下响应不同频率的正弦输入时在相位上产生的,滞后（ 0）特性。,上述定义的幅频特性,和相频特性 ( ) = G( j ) 统称为系统的频率,特性，它描述了系统对正弦输入的稳态响应。,图4-2 线性系统的正弦稳态响应输出,系统频率特性的表示形式,系统的频率特性函数是一种复变函数，可以表,示成如下形式：,G( j ) = U ( ) + jV ( ),U
12、 () 是G( j) 的实部，称为实频特性。V () 是G( j) 的虚部，称为虚频特性。,频率特性函数也可以表示成如下形式：,A()是 G( j) 的模，称为幅频特性。 ()是 G( j) 的相角，称为相频特性。,矢量图表示如图 ：,另外，频率特性函数还可以仿照复数的三角表示法和指数表示法,工程中最常见的表示方法是幅频特性和相频特性形式,频率特性的求取解析法,系统的频率特性函数 G( j ) 可由系,统的传递函数 G(s) 求得。,G( j ) = G(s) s = j,函数。,将s平面的复变量 s = + j的取值范围限定在虚轴上，即 s = j 所得到的传递函数 G( j ) 就是系统的
13、频率响应。频率响应是在 s = j 特定情况下的传递,4.2 极坐标图,（乃奎斯特图，或乃氏图）,乃奎斯特（H.Nyquist)18891976，,美国Bell实验室,著名科学家,极坐标图是反映频率特性的几何表示。,当, 从 0 逐渐增长至 + 时，频率特,性 G( j) 作为一个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标图。极坐标图也称为乃氏图或乃奎斯特曲线。,4.2.1 典型环节的乃氏图1. 比例环节,jV,o,G( j ) = KG( j ) = KG( j ) = 0,2.积分环节,1j,G( j ) =,G( j ) = 90oG( j0) = 90G( j) = 0 90
14、,3.微分环节 G( j ) = j,o,G( j ) = 90,G( j0) = 090G( j) = 90,4.一阶惯性环节,G( j ) =,1jT + 1,G ( j ) = arctan (T )G( j0) = 10G( j) = 0 90,G( j ) =,1jT + 1,G( j0) = 10G( j) = 0 90,图4-18 一阶惯性环节的乃氏图,在第四象限,5.二阶振荡环节,问：第几象限？,相角0180，与负虚轴有交点。,令 ReG( j ) = 0或 G( j ) = 90得 = 1 T = n, 90,12,G( jn ) =,为与负虚轴交点。, jT,G( j )
15、= e,6.延迟环节,G( j ) = 1G( j ) = T,G( j0) = 10G( j) = 1 ,相角0，与实轴和虚轴有无穷多交点。,4.2.2 乃氏图的一般作图方法,(1)写出 G( j ) 和 G( j ) 表达式；,的关系式求出，也可以利用关系式,(2)分别求出 = 0 和 + 时的 G( j ) ；(3)求乃氏图与实轴的交点，可利用 ImG( j ) = 0,G( j ) = n 180o （其中n为整数）求出；,(4)求乃氏图与虚轴的交点，可利用 ReG( j ) = 0的关系式求出，也可利用关系式G( j ) = n 90o,（其中n为奇数）求出；,(5) 必要时画出乃氏
16、图中间几点；(6) 勾画出大致曲线。,G( j ) =,例4-4,1j ( j + 1)(2 j + 1),G( j ) = 90 arctan( ) arctan(2 )当 = 0 时，G( j ) = + 90当 = + 时，G( j ) = 0 270其相角范围从-90-270，因此必有与负实轴的交点。,解方程G( j ) = 90 arctan() arctan(2) = 180即 arctan(2 ) = 90 arctan( )所以曲线与负实轴交点的频率为 = 1 2 = 0.707 rad/ sec该交点距原点的距离为,( j ) ( jT1 + 1)( jT2 + 1)L,系统
17、的型次机电系统的开环频率特性一般可表示为,G ( j ) =,K ( j1 + 1)( j 2 + 1)L ,当=0 时，称该系统为 0 型系统；当=1 时，称该系统为型系统；当=2 时，称该系统为型系统；,各型乃氏图的低频段,乃氏图的高频段,通常，机电系统频率特性分母的阶次大于分,子的阶次，故当 时，乃氏图曲线终止于,坐标原点处；而当频率特性分母的阶次等于分子,的阶次，当 时，乃氏图曲线终止于坐标,实轴上的有限值。,一般在系统频率特性分母上加极点，使系统相角滞后；而在系统频率特性分子上加零点，使系统相角超前。,乃氏图的负频段令 从 增长到 0 ，相应得出的乃氏图是与 从,0 增长到,+ 得出
18、的乃氏,图以实轴对称的。,4.3.1 典型环节的伯德图,1. 比例环节,G( j ) = K,o,L( ) = 20 lg K, ( ) = 0,2.积分环节,G( j ) =,1j, ( ) = 90o,G( j ) =,1j,二重积分环节, ( ) = 180o,2,1(j ),G( j ) =,3.一阶惯性环节,1jT + 1,G( j ) =, ( ) = arctan(T )在低频段， L( ) 0 ( ) 0在高频段，L( ) 20 lg(T ) ( ) 90用低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示。,G( j ) =,1jT + 1,4.一阶微分环节 G( j ) = j +
19、 1,在低频段， L( ) 0 ( ) 0,在高频段， L( ) 20 lg( ) ( ) 90,G( j ) = j + 1,二阶振荡环节, j,6.延迟环节 G( j ) = e, ( ) = ,4.3.2 一般系统的伯德图作图方法对一般系统,则,4.3.2 一般系统的伯德图作图方法对一般系统,则,1,1,：,即,例,该系统可认为由下列五个典型环节组成：,5.2 系统稳定的充要条件,N(s)到Xo(s)的传递函数：,设n(t)为单位脉冲函数， N ( s ) = 1,i 0, jj 0,s + = 0的根:s = ,1s + ,2, s 2 + 2 s + 2 = 0的根,1s 2 + 2
20、 s + , , 为系统闭环特征方程式的根的实部,控制系统稳定的充分必要条件是：闭环特征方程式的根全部具有负实部,系统特征根即闭环极点，故也可以说充要条件为,极点全部在s平面的左半面,s,s,充要条件：如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正，则系统稳定。,劳斯阵列：,a6 .a7 .b4 .c4 .,s ns n 1n 2n 3.,a0a1b1c1.,a2a3b2c2.,a4a5b3c3.,u2,s 2s1s 0,u1v1w1,实部为正的特征根数劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。,例5-1:,设控制系统的特征方程式为,试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,劳斯判据还说明：,s,例5-2 设控
21、制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,4,1,3 3,s,解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。 劳斯阵列,3,2 4,s,s 21,0,3,s,1 32,第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有2个实部,为正，控制系统不稳定。,劳斯判据的不足：, 必须知道系统的闭环传递函数, 不能对改善系统稳定性给出提示, 定性不能从量上判断系统的稳定程度 对含有延迟环节的系统无效,Nyquist稳定判据,根据开环频率特性判断闭环稳定性,不需要知道闭环系统的特征根可以用频率特性实验法获得开环频率特性曲线，进而分析闭环系统的稳定性,可以解决系统包含有延迟环节的系统稳定性问题,可以定量指出
22、系统的稳定储备，即相对稳定性指标,可以进一步改善系统的动态性能,Nyquist稳定判据,F ( s ) =,( s a1 )( s a2 )L( s am )( s a1 )( s a2 )L( s an )F(s)有m个零点，n个极点，在s平面上的C顺时针包围了其中k个零点和l个极点，则在F平面上的C逆时针包围原点 l k圈。映射定理,反馈控制系统,开环传递函数,闭环传递函数,闭环稳定 闭环传递函数右极点个数为0A ( s ) A2 ( s ) + B1 ( s ) B2 ( s ) 右零点个数为0,1,=F(s),F（s）的分子、分母分别是系统的闭环和开环特征多项式。假设能够在s平面上做一
23、条能包围整个右半平面的封闭曲线C，经过F(s)的映射，在F平面上包围原点的方向和圈数,顺时针绕s右半平面的曲线，经过F ( s ) = 1 + G ( s ) H ( s ) 的映射，逆时针包围原点的圈数 = 开环右极点个数,假设闭环稳定，则曲线c包围F(s)的零点个数为0。那么如果F(s)系统没有右极点，则c也不包围任何极点，所以经过F(s)的映射，C 也不应该包围原点；如果F（s）有右极点，曲线c包围了这些极点，那么映射后c应该逆时针包围原点，而且包围的圈数等于开环右极点的个数,F ( s ) = 1 + G ( s ) H ( s ),F ( s ) = G ( s ) H ( s )F
24、(s)包围原点的圈数 = F (s)包围-1点的圈数,D曲线,Nyquist稳定判据,在s平面作包围右半平面的D形曲线，如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围,（1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数，,则系统稳定。,闭环控制系统稳定的充要条件,G ( s ) H ( s ) =, K = 15,K( s + 1)( s + 2)( s + 3),例题5-8,G ( s ) H ( s ) =, K = 200,K( s + 1)( s + 2)( s + 3),由伯德图判稳定性,设0型或I型系统开环特征方程有 p 个右根，,且开环静态放大倍数大于零，如果在所有L()0频率范围内，,相频特性曲线()在(-)线上正负穿越之差为p/2次，,则闭环系统稳定。,乃氏图从第三象限穿越负实轴到第二象限，负穿越;,从第二象限穿越负实轴到第三象限，正穿越。,如果=0时，()= -，,乃氏图向第三象限去，半次正穿越，,向第二象限去，半次负穿越。,例题5-16,例5-19：开环传递函数为求K=10时的相位裕量、幅值裕量。,K=10,作图法,计算法,c 1.4 = 27,1.23 rad/s25.5,9.5dB,Kg = 8dB,
