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1、第14章 整式的乘法和因式分解,基本法则,1、同底数幂的乘法法则；,2、幂的乘方法则；,3、积的乘方法则；,4、同底数幂的除法法则；,5、零次幂；,am.an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn,aman=am-n （a 0）,a 0=1（a 0）,用对法则不混淆,基本思想要把握,你能比较813与274的大小吗?,24 64 (-0.25)4,2104886,各种运算灵活用,1、已知x3=4,求x9的值.,2、若mx=2，my=3，求mx+y 和m3x+2y的值.,4、已知2x+4y-3=0,求(3x-9y)2的值。,3.若mx=2，my=3，求mx-y 和m3x-2y的值.,
2、3、a、b互为相反数且都不为0，n为正整数，则下列两数互为相反数的是（ ）,随堂练习,单项式单项式,单项式多项式,多项式多项式,平方差公式,完全平方公式,单项式单项式,多项式单项式,知识梳理,(l)结果一定是积的形式；(2)每个因式必须是整式；(3)各因式要分解到不能再分解为止,把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，,因式分解,分解因式几个特点,即：一个多项式 几个整式的积,是互逆的关系一定是恒等变形,分解因式与多项式乘法关系,下列变形是否是因式分解？为什么?(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(
3、xy-1)；(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.,提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.,不满足因式分解的含义,因式分解是恒等变形而本题不恒等.,是整式乘法.,1.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）.A. B. C. D.,填空1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 。2x2-8x+m=( ),m= 。 3.若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= ,-7,-10,x-4,16,5.下列等式中,从左到右的变形是分解因式的是( )A. (x+5)(x-5)=x2-25 B. x2+3x+1=(x+1)(x+1)-1x2+3x+2
4、=(x+1)(x+2) D. a(m+n)=am+an6.下列多项式是完全平方式的是( )A. 0.01x2+0.7x+49 B. 4a2+6ab+9b29a2b2-12abc+4c2 D. X2-0.25x+0.25,C,C,4.若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k=_,3或-9,（二）分解因式的方法：,（1）、提取公因式法,（2）、运用公式法,（4）、分组分解法,（3）、十字相乘法,1. 提公因式法,多项式各项都含有的相同因式，,定系数,定字母,定指数,系数的最大公约数,各项中都有的相同的字母。,字母的最低次幂。,公因式,确定公因式的方法,提公因式法,如果多项式的各项有公因式,把公因
5、式提出来,从而转化为几个因式乘积的形式,(2)a-b 与 -a+b 互为相反数.,(a-b)n = (b-a)n (n是偶数） (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）,(1) a+b与b+a 互为相同数,(a+b)n = (b+a)n (n是整数）,（3）a+b 与 -a-b 互为相反数.,(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数） (-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）,例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a),把下列各式分解因式：（ x y）3 （ x y） a2 x2y2,(2)4p(1-q)3+2(q-1)
6、2,练习： 6x3y2-9x2y3+3x2y2 p（y-x）-q（x-y） (x-y)2-y(y-x)2,(2)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2其中，a22ab+b2叫做完全平方式.,例如：4x2-12xy+9y2 =(2x)2-22x3y+(3y)2=(2x-3y)2.,2. 公式法,(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).,例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).,例2 把下列各式分解因式.(1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10 x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9,做一做,(m+n-3)2.,(3a+b)(b-a),(1
7、-5x)2,(2)(a+ b+c)2-(a+b-c)2,(4)3ax2-3ay4； (5)m4-1,(1) 3x+6xy+3xy,(6)y2 4xy4 x2,(3)xy-4xy+4,例5：把下列各式分解因式.(a+b)2- 4a2, 25(x+m)2-16(x+n)2,3、-x2-9y2+6xy 4 、(x2+4)2-2(x2+4)+15、(x+y)2-4(x+y-1),十字相乘法,顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱,“拆两头，凑中间”,例1,例4 分解因式,练习: (1), X2-5x+6 a2-a-2,2.分组后能直接运用公式,1.分组后能直接提取公因式,分组分解法,四项:常考虑一三分
8、组或者是二二分组五项:常考虑二三分组,分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去, 3x+x2-y2-3y x2-2x-4y2+1,因式分解的一般步骤：, 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。, 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解。,一提,二套,三分,四查,再考虑分组分解法,检查：特别看看多项式各因式是否分解彻底,问题2因式分解：（1）（2） （3） （4）,知识梳理,(2)16(a-b)2-9(a+b)2,解：16(a-b)2-9(a+b)2,=42(a-b)2-32(a+b)2,=(4a-4b)2-(3a+3b)2,=(4a-4b
9、)+(3a+3b)(4a-4b)-(3a+3b),=(7a-b)(a-7b),典型例题,例2因式分解： （1） （2） （3）,A层练习一:将下列各式分解因式： -a-ab； m-n； x+2xy+y （4）3am-3an；,（5）18ac-8bc （6） m4 - 81n4,(7)x3-2x2+x；(8)x2(x-y)+y2(y-x),把下列各式分解因式：, -x3y3-2x2y2-xy,(1) 4x2-16y2 (2) x2+xy+ y2.,(4)81a4-b4,（6) (x-y)2 - 6x +6y+9,(2x+y)2-2(2x+y)+1, x2y2+xy-12,(8) (x+1)(x+
10、5）+4,解:原式=4(x2-4y2) =4(x+2y)(x-2y),解:原式=-xy(x2y2+2xy+1) =-xy(xy+1)2,解:原式=(9a2+b2)(9a2-b2) =(9a2+b2)(3a+b)(3a-b),解：原式=(2x+y-1)2,解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2,解：原式=(xy-4)(xy+3),解：原式=x2+6x+5+4 =(x+3)2,a2-9b2+2a-6b,x2-2xy+y2-2x+2y+1,公式的变形与运用,1、(a+b)2=(a-b)2+4ab,2、(a-b)2=(a+b)2-4ab,3、a2+b2=(a+b)2-2ab,4、
11、a2+b2=(a-b)2+2ab,公式的变形与运用,（2）若a-b=8,ab=20,则a2+b2为多少？a+b为多少？,1、若(a+b)2=11, (a-b)2=7,求ab的值；,公式的变形与运用,(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,2、如果(x+p)(x+1)的乘积中不含x的项，那么p等于 。,完全平方式,3、已知：x2+5y2+4xy-6y+9=0，求xy的值。,2、已知：4x2+9y2+4x-6y+2=0，求x、y的值。,拓展提高,利用平方差公式简便计算：,拓广探究,练习1已知a、b、c 为三角形的三边长，且满足 ，试判断三角形的形状，并说明理由,拓广探究,练习2已知a、b、
12、c 为三角形的三边长，判断,的符号,(6)若xy99求x2xy2y2xy之值,应用：1).计算： 20052-20042 =2). 若a+b=3 , ab=2则a2b+ab2=3). 若x2-8x+m是完全平方式,则m=4). 若9x2+axy+4y2是完全平方式,则a=( )A. 6 B. 12 C. 6 D. 12,D,(5).计算 + + + = _,1). 3m2-272). 1-a4,3). 9-12x+4x24). -x2+4x-4 5). y3+4xy2+4x2y,6). -8a3b2+12ab3c-6a2b27). (m2+n2)2-4m2n28). (2x+y)2-(x+2y
13、)2,B层练习将下列各式分解因式： (2a+b)(ab) ； (2) (x+y)-10(x+y)+25 (3) 4a3b(4a3b) (4)(x25)22(x25)1（5）(x2+y2)(x2+y2-4)+4,基本方法,第二步第一环节,C层练习（1）不论a、b为何数，代数式a2+b2-2a+4b+5的值总是 （ ）A.0 B.负数 C.正数 D.非负数,D,(6)已知a、b、c是一个三角形的三边，判断代数式a2-b2 -c2 2bc 的正负性。,(7)若n是任意正整数.试说明3n+2-43n+1+103n能被7整除.,(8)甲、乙两同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果是(x+2)
14、(x+6),乙看错了a，分解结果是(x+1)(x+16)请你分析一下a、b的值分别为多少，,(9),应用：,1、 若 100 x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k=,140,2、计算(-2)101+(-2)100,3、已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值,解：原式=（-2)(-2)100+ (-2)100,=(-2)100(-2+1)=2100 (-1)=-2100,解：原式=x3-x2+5x2-x3-9 =4x2-9 =(2x+3)(2x-3),又 2x-3=0, 原式=0,自我评价 知识巩固,1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m=(
15、) A.3B.-5C.7. D.7或-12.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n=( ) A.2B.4C.6D.83.分解因式：4x2-9y2=_.4.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值. 5.把多项式1-x2+2xy-y2分解因式6.解方程组,思考题 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10,分析:把x4+x2作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构.,解：令x4+x2=m，则原式可化为(m-4)(m+3)+10=m2-m-12+10=m2-m-2=(m-2)(m+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1),
