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1、导数及其应用,知识结构,、导数的概念,、几种常见函数的导数公式,、求导法则,、复合函数求导,、导数的几何意义,、导数的应用,1判断函数的单调性 2求函数的极值3求函数的最值,例2：用公式法求下列导数：（1）y= （3）y=ln(x+sinx)（2）y= （4）y=,解(1)y= (2) (3) (4),例3、已知f (x) =2x2+3x f (1), f (0)=解:由已知得: f (x)=4x+3 f (1), f (1)=4+3 f (1), f (1)=-2 f (0)= 40+3 f (1)=3(-2)=-6,例1已经曲线C：y=x3x+2和点A(1,2)。求在点A处的切线方程？,解
2、：f/(x)=3x21， k= f/(1)=2 所求的切线方程为： y2=2(x1), 即 y=2x,变式1：求过点A的切线方程？,例1已经曲线C：y=x3x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？,解：变1：设切点为P（x0，x03x0+2），,切线方程为y ( x03x0+2)=(3 x021)(xx0),又切线过点A(1,2),2( x03x0+2)=( 3 x021)(1x0)化简得(x01)2(2 x0+1)=0，,当x0=1时，所求的切线方程为：y2=2(x1),即y=2x,解得x0=1或x0=,k= f/(x0)= 3 x021，,当x0= 时，所求的切线方程为： y2= (x1
3、),即x+4y9=0,1) 如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；,2) 如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。,一般地，函数yf（x）在某个区间(a,b)内,定理,f (x)0,f (x)0,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,返回,(A),(B),(C),(D),C,(04浙江理工类),高,考,试,练习：,尝,设 是函数 的导函数， 的图象如右图所示,则 的图象最有可能的是( ),题型二 判断函数的单调性, 并求出单调区间:,解:,(1) 因为 , 所以,因此, 函数 在 上单调递增.,(2) 因为 , 所以,当 ,
4、即 时, 函数 单调递增;,当 , 即 时, 函数 单调递减.,解:,(3) 因为 , 所以,因此, 函数 在 上单调递减.,(4) 因为 , 所以,当 , 即 时, 函数 单调递增;,当 , 即 时, 函数 单调递减.,题型二 判断函数的单调性, 并求出单调区间:,题型三 分类讨论单调性,1.讨论二次函数 的单调区间.,解:,由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是,由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是,总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。,纳,1什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、
5、 单调区间较简便？,2试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？,归,总结：,1.导数求单调区间首先要确定函数的定义域2单调区间不能用“” 联系，而只能用“ ，”隔开,注意,2)如果a是f(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f(x)0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.,函数的极值,1)如果b是f(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f(x)0，在b右侧附近f(x)0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值,注：导数等于零的点不一定是极值点,2)在闭区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.,函数的最大（小）值与导数,返回,例4（2001文）已知函数
6、f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。,分析：f(x)在x=1处有极小值-1，意味着f(1)=-1且f(1)=0，故取点可求a、b的值，然后根据求函数单调区间的方法，求出单调区间 。,略解：单增区间为（-，-1/3）和（1，+）单间区间为（-1/3，1）,练习巩固：设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4（1）、求a、b、c的值（2）、求函数的单调区间,答案（1）a=-3,b=0,c=0（2）单增区间为(-,0)和(2,+),解:由已知,函数f (x)过原点(0,0), f (0)
7、 =c=0 f (x)=3x2+2ax+b 且函数f (x)与y=0在原点相切， f (0)=b=0 即f (x)=x3+ax2 由f (x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a,由已知,即,解得a=-3,例2：求参数,解：由已知得,因为函数在（0，1上单调递增,增例2：,本题用到一个重要的转化：,小结：,利用导数的几何意义求切线的斜率；求函数的单调区间，只要解不等式f(x) 0或f(x)0即可；求函数f(x)的极值，首先求f (x),在求f (x)=0的根，然后检查方程根左右两侧的导数符号而作出判定；函数f(x)在a,b内的最值求法：求f(x)在（a,b）内的极值；将f(x
8、)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的为最小值。,导数的应用主要表现在：,定积分及其应用,1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义、物理是什么？3、微积分基本定理是什么？,求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,(2)取近似求和:任取xixi-1, xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。,(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为,取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：,xi,xi+1,xi,(1)分割:在区间0,1上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间: 每个小区间宽度x,定积分的定
9、义,如果当n时，S 的无限接近某个常数，,这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作,从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割-近似代替-求和-取极限得到解决.,定积分的定义：,定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。,积分下限,积分上限,按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s
10、为,定积分的定义：,例1、求曲线 与直线 x轴所围成的图形面积。,略解：根据定积分的几何意义所求面积为,（一）利用定积分求平面图形的面积,平面图形的面积,平面图形的面积,平面图形的面积,平面图形的面积,平面图形的面积,特别注意图形面积与定积分不一定相等,1、求直线 与抛物线 所围成的图形面积。,略解：设切点坐标为,则切线方程为,切线与x轴的交点坐标为,则由题可知有,所以切点坐标与切线方程分别为,（1）画图,并将图形分割为若干个曲边梯形； （2）对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、下限； （3）确定被积函数； （4）求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和。,小结:求平面图形面积的方法与步骤：,几种常见的曲边梯形面积的计算方法：,当 时,则所求图形的面积为,
