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1、26.1.2 二次函数,河南省息县五中敖勇,复习,函数:,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.,一般地,形如,的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.,y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a0),二次函数:,思考,一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图像是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样画一个函数的图像?,画二次函数 的图象。,解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：,y,3,2,1,0,-1,-2,-3,x
2、,（2）在平面直角坐标系中描点：,x,y,o,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,10,8,6,4,2,-2,1,y = x2,（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= x2 的图象.,画二次函数 的图象。,解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：,y,3,2,1,0,-1,-2,-3,x,（2）在平面直角坐标系中描点：,x,y,o,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-2,-4,-6,-8,y = - x2,（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.,-10,抛物线： 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。 一般地，二次函数 的
3、图象叫做抛物线 。,这条抛物线关于y轴对称，y轴就 是它的对称轴.,对称轴、顶点、最低点、最高点,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.,抛物线 y=x2在x轴上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小，最小值是0.,当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1,当x=1时，y=1当x=2时，y=4,y,抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展，当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y = x2,y = - x2,（0，0）,（0，0）,y
4、轴,y轴,在x轴上方(除顶点外),在x轴下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0,当x=0时,最大值为0,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,y = x2、y= - x2,下面是两个同学画的 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图象,你认为他们的作图正确吗?为什么?,a0，开口都向上;对称轴都是y轴;增减性相同,顶点都是原点(0,0),只是开口大小不同,在同一坐标系中作二次函数y= -x2和y=-2x2的图象，会是什么样?,a 0，开口都向下;对称轴都
5、是y轴;增减性相同.,顶点都是原点(0,0),只是开口大小不同,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 (a0),y= ax2 (a0),（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,y = ax2,一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_轴，顶点是_. 当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的
6、_，a 越大，抛物线的开口越_;当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点，a 越大，抛物线的开口越_.,y,原点,最低点,上,小,下,高,大,Y=ax2+k,二次项系数为2，开口向上;开口大小相同;对称轴都是y轴;增减性相同.,顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,1),位置不同;最小值不同:分别是1和0,在同一坐标系中作二次函数y=2x2+1和y=2x2的图象,会是什么样?,y = x2,不用描点法，你知道 y = x21、 y = x21 的图象是怎样的吗？,y = x2 1,y = x2 1,例如：,二次函数上下平移 的口决,上加下减,y = x2,y = x2 1,y = x
7、2 1,向上平移1个单位,向下平移1个单位,y = a (xh)2,y = a (xh)2 k,y = a (xh)2 k,向上平移k个单位,向下平移k个单位,一般：,顶点式,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 +c(a0),y=ax2 +c(a0),（0，c）,（0，c）,y轴,y轴,当c0时,在x轴的上方(经过一,二象限);当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,向上,向下,当x=0时,最小值为c.,当x=0时,最大值为c.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,
8、在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,y = ax2 + c,在同一坐标系中作二次函数y =2(x-1)2和y=2x2的图象,会是什么样?,二次项系数为2，开口向上;开口大小相同;对称轴不同；增减性相同.,顶点不同,分别是原点(0,0)和(1,0),位置不同;最小值相同,二次项系数为2，开口向上;开口大小相同;对称轴不同；增减性相同.,顶点不同,分别是原点(0,0)和(2,0),位置不同;最小值相同,在同一坐标系中作二次函数y =2(x1)2和y=2x2的图象,会是什么样?,二次函数左右平移 的口决,左加右减,y = 2x2,y = 2(x+1)2,
9、向左平移1个单位,向右平移1个单位,例如：,y = 2(x1)2,y = ax2 k,向左平移h个单位,向右平移h个单位,y = a (xh)2 k,y = a (xh)2 k,一般：,你能说出函数 的图象与函数 的图象的关系吗?,向右平移1个单位,向上平移2个单位,向右平移1个单位,向上平移2个单位,或者,一般地，抛物线 y = a (xh)2 k 与 y = ax2 形状相同，位置不同，把抛物线 y = ax2 向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y = a (xh)2 k .平移的方向、距离要根据 h，k 的值来决定.,y = a (xh)2 k 顶点式的特点,顶点坐标：,对称轴：,
10、（h，k）,x = h,当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；,二次函数的一般式 y=ax+bx+c 的图象是怎样的？,提取二次项系数,配方:加上并减去一次项系数一半的平方,整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项,化简:去掉中括号,配方法,y = ax+bx+c 一般式,顶点坐标：,对称轴：,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y随
11、着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值.(4)a0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .,2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0). (3)对称轴不同:分别是 和y轴. (4)最值不同:分别是
12、和0.3.联系: y=a(x-h)+k(a0) 的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 0时,向右平移;当 0时向上平移;当 0时,向下平移)得到的.,回味无穷,二次函数y=ax2+bx+c(a0)与=ax的关系,（1）设矩形的一边AB= x cm，那么AD边的长度如何表示？ （2）设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的最大值是多少?,在一个直角三角形内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.,M,N,最大面积问题,x cm,b cm,一般地，因为抛物线 y = ax+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当 时，二次函数 y = ax+bx+c
13、有最小（大）值 。,形如 （a、b、c是常数，a0）的函数叫做 x 的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。,1. 二次函数：,2、抛物线：,二次函数的图象都是抛物线。,一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_轴，顶点是_. 当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开口越_;当a 0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点，a 越大，抛物线的开口越_.,y,原点,最低点,上,小,下,高,大,3、抛物线 y=ax2 的图象 ：,4、抛物线 y = a (xh)2 k 图象的移动 ：,一般地，抛物线 y = a (xh)2 k 与 y = a
14、x2 形状相同，位置不同，把抛物线 y = ax2 向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线 y = a (xh)2 k .平移的方向、距离要根据 h，k 的值来决定.,（1）当a0时，开口向上； 当a0时，开口向下； （2）对称轴是直线 x=h； （3）顶点坐标是（h，k）.,5、抛物线 y = a (xh)2 k （顶点式）的图象特点：,顶点坐标：,对称轴：,6、抛物线 y = ax+bx+c （一般式） 的图象特点：,y = ax+bx+c,一般地，因为抛物线 y = ax+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当 时，二次函数 y = ax+bx+c 有最小（大）值 。,7. 二次函数的
15、最值问题：,1.下列函数中,哪些是二次函数？,（1）y = 3(x1) + 1,（3）s=32t2,（5）y=(x + 3)x2,（6） v =10r,（是）,（是）,（不是）,（是）,（不是）,（不是）,2. 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？,是二次函数关系式。,解：S = a( a)=a(30a) = 30aa =a + 30a,4. 如果函数 y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是_。,0,3. 如果函数 y= +kx+1 是二次函数，则k的值一定是_ 。,0或3,5. 你能说出函数 的图象
16、的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?,函数 的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，-2）；当x0时，函数值y随x的增大而增大，当x=0时，函数取得最小值，最小值y=-2。,6. 你能再画出函数 的图象，并将它与函数 的图象作比较吗?,函数 的图像向上平移2个单位可以得到函数 的图像。,7. 不画出图象，你能直接说出函数 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？,因为 ，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线 x1，顶点坐标为（1，2）,8. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。,（1）抛物线的开口向上，对称轴为x1，顶点坐标是（1，6）； （2）抛物线开口向下，对称轴为x1，顶点坐标是（1，6）,9. 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式。,10. n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。写出比赛的场次数m与球队n之间的关系式。,设长方形的宽为x，面积为y，则y=2x2. y=2(1x)2. 略. 抛物线 y = 4x2的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，抛物线 开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点.,
