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1、有限元分析的几个基本问题,机械研1班 王景阳学号：12011130592,目录,专题1、有限元的直接法专题2、平面问题的有限元法专题3、薄板弯曲问题有限元法专题4、机械振动分析的有限元法,问题、什么是FEA?它与材料力学的区别？,有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）最本质的思想是把一个大的、无论几何形状和受力复杂情况的机械零件划分为有限多个被称为单元的小弹性体（所谓弹性体：物体所受外力完全去除以后，物体能完全恢复原形，不留下残余变形。），在每个小弹性体里，假定弹性体的变形和应力都是简单的，小弹性体内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得真个机械零件的
2、变形和应力。材料力学(mechanics of materials)是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度、稳定和导致各种材料破坏的极限。,区别一：有限差分法,当受弯杆件是变截面梁和梁上载荷比较复杂时，用积分法求弯曲变形，计算相当困难。,材料力学只能计算一些简单、特殊机械结构，对于复杂的结构要么无能为力，要么将其简化为材料力学能够计算的模型。为了安全，引入了安全系数K（K大于1）来弥补，导致机器的“傻大笨粗”。 1，对象不同。材料力学研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。有限元分析还研究板、壳及其他实体构件，即两个尺寸大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的简单构
3、件。 2,假设不同。材料力学是对构件的整个截面来建立条件，引用一些截面的变形状况及应力情况的假设，简化了数学引入了推演，结果是近似的，构件假定是刚体。而有限元对构件的无限小单元体来建立这些条件，结果更为精确、符合实际，构件是弹性体。 3，所涉及学科不同。材料力学与理论力学一脉相承，而有限元方法则与数值分析这门学科紧密相连。单元：剖分插值把结构剖分（离散）为有限个单元（小局部），利用“插值函数”研究单元的平衡和协调；再把这有限个离散单元集合（还原）成结构，保证被还原的结构满足平衡和变形协调条件。（所谓插值：在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼
4、近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。）,将悬臂梁分成20个相等的间隔，h=L/20。这样就在梁上确定了0,1,2,20二十一个点。因为点0的挠度为0,所以只有其余20个点的挠度是未知量。梁的截面不变，EI为常量。,悬臂梁,下面分析一个方型悬臂梁，如图所示.,P,Point A,L,求解在力P作用下点A处的变形，已知条件如下：P = 100NL = 10mb=h=5e-2mE = 3 e11 N/m2A=0.0025m2I= 5.2e-7m4,例如，把一个厚度均匀的悬臂板抽象成若干个有小三角形组成的桁架，那么构成桁架的每个杆就是一个受拉或受压的二力
5、杆，求解每一个小单元的应力和应变就相对容易。根据微积分的思想，当这些小三角形的数量趋于无穷大时，小三角形组成的桁架的物理状态和大悬臂板的物理状态区域相同。,专题一 有限元的直接法 1.1 有限元分析法的基本思路,1、简化被分析机械结构的力学计算模型。将被分析的机械结构（悬臂板）有整化零，这些小的结构（三角板单元）再通过节点处的连接组成一个与原机械结构几何形状相同的弹性体。编排单元号码与节点号码。将非节点载荷（自重）移植到节点上。2、求出以节点位移表示的单元节点力。一个节点处的未知力多于平衡方程的数目；而位移恰好等于平衡方程的数目。3、建立节点平衡方程式。建立全部节点的平衡方程式，得求解节点位移
6、的线性方程组，可得到线性方程组。4、求单元的内力或内力。,整体平衡,分片近似,单元平衡,结构离散,方程求解,问题分析,力学模型,节点单元,位移函数,单刚方程,总刚方程,节点位移函数,阶梯轴（梁）,分为两个单元，共有三个节点。整体结构中，节点载荷F及节点位移都用大写。其脚标为节点在总体结构中的编码，简称为总码。,1.1 有限元法概述,一个简单的应用实例离散化局部码：各单元内，节点的编码；各节点的位移分量及载荷分量分别用小写及f标记所有节点位移的集合为该单元节点位移矢量，节点载荷的集合为节点力矢量f；右上角标为该单元的编码,有限元法概述,一个简单的应用实例单元刚度矩阵某等截面单元e两节点载荷为 ；
7、位移量为 。其上角标为该单元的编码；下脚标为节点的局部码。,小结,单元刚度矩阵k:由节点位移矢量求节点力矢量的转移矩阵。该矩阵中的每个元素都为单元刚度系数。kij的含义：表示单元内节点j产生单位位移时，节点i所引起的载荷fi。,1.1 有限元法概述,一个简单的应用实例总体刚度矩阵的集成和总体平衡方程的写出令：整体结构所有节点位移的集合为它的节点位移矢量，节点载荷的集合为节点力矢量F，则：F=K上式为总体平衡方程。K为总体刚度矩阵，它是在整体结构中由节点位移矢量求节点力向量的转移矩阵。,将数代入，引入支承条件,1.1 有限元法概述,一个简单的应用实例节点位移的计算支承条件的引入：总体刚度矩阵是一
8、个奇异矩阵，必须引入支承条件才可求解。各单元内应力和应变的计算：在求出各节点位移后，即可求出各单元的应力和应变。,步骤,离散化局部坐标单元刚度矩阵相应总体刚度矩阵集成总体刚度矩阵总体刚度方程引入支承条件求节点位移单元应力应变,1.2 直接法 1.2.1 单元划分：用点、线或面把结构剖分为一系列离散单元。进行单元分析，使每个单元都满足平衡条件和变形连续条件：,1、F1,2、F2,3、F3,4、F4,1、F1,2、F2,3、F3,4、F4,图1-2 两端固定梁单元划分,单元的节点上有位移和力F,1.2.2 以节点位移表示节点力：把所有被离散的单元集合起来。进行系统（结构整体）分析，保证系统在单元与
9、单元间连接点处的平衡条件及变形协调条件得到满足。,单元节点位移引起的单元节点力用材料力学方法求得,图1-3,一个单元的每个节点上都有用来描述其变形的广义位移和相应的广义力。广义一语意味着所论位移既可以是线位移，也可以是角位移。力除了代表力以外，还可以代表力矩。,1.2.3、单元节点位移和单元节点力的关系,上述单元的节点位移和节点力是对给定的坐标系来说的，对线性小挠度问题，可以采用材料中的叠加原理求得由单元节点位移引起的单元节点力。,图1-5,把单元上所有节点的位移（或力）依次集合起来排列成一个列向量（或F ），称（或F ）为单元节点位移（或单元节点力），可简称为单元位移（或单元力）。,单元上节
10、点位移总数称单元的自由度数，等于单元节点数乘节点自由度数。 下面举例说明理论力学中桁架和梁的自由度数:,平面桁架节点：2（ux、uy）,空间桁架节点：3 （ux、uy 、uz）,平面梁节点：2（ uy 、z ）,空间梁节点：6（ ux、uy 、uz 、 x、 y、z）,1.2.3 单元刚度矩阵 每个单元都有单元位移 、单元力F 。它们是把单元上所有节点的位移（或力）依次集合起来排成的一个列向量 （或F ）。,平面应变板单元,1.2.3 .1 单元刚度的概念,单元分析的主要工作是：通过研究单元力和单元位移之间关系，建立单元刚度矩阵。 对任意单元而言，描述单元力和单元位移之间关系的一个方阵，称单元
11、刚度矩阵。以图1-5示出的平面梁单元为例。坐标系XY如图所示。,图1-5,（1-1）,描述单元力和单元位移之间关系的矩阵式一般可写为：,其中，kij（i=1、4，j =1、4）称刚度系数， 矩阵:,称为第（e）号单元的单元坐标单元刚度矩阵，可简称为单元刚度矩阵，简写为k。即,（1-2）,引入单元位移、单元力符号： 、,公式（1-1）被缩写为：,（1-3）,从式（1-3）和（1-1）看出：,（1）单元刚度矩阵表明了单元力和单元位移之间关系。由于后面推演这套关系中的刚度系数kij时，保证了单元内部的平衡和协调。所以，引用单元刚度矩阵就意味着单元的平衡和协调条件已经得到满足。,（2）单元刚度矩阵中的
12、任意元素kij是单位位移j=1、其它位移为零时的Fi。,单元分析的主要任务就是确定单元刚度矩阵k。,综合举例 平面钢架,节点位移向量表示：节点力向量表示：节点1沿x方向的位移 、其余节点位移全为0时轴向压力为：,节点1作用于单元1上的力，在x和y方向的分量分别为：,同理，节点2作用于单元1上的力，其大小与之相等，方向相反，x和y方向的分量分别记为：,注： 表示第e个单元的第j个自由度产生单位位移，而其它自由度上的位移为零时，第i个自由度上所受的力。常称其为单元的刚度系数。,同理可求分别作单位位移时相应的刚度系数，考虑到节点的实际受力为 和实际位移为 ，则据各个节点节点力平衡得：单元1节点力平衡
13、方程,单元2节点力平衡方程,整体分析,整体分析： 作用于每个节点上的节点力平衡，即,结合前式推导得：,引入约束求解,整体矩阵记为：将 代入可得整体方程,综合举例1 连续梁,1、划分单元，标单元号和节点号，并取局部坐标系和整体坐标系。这单元分析过程中，要保证连续梁在节点处是平衡的；同时相交于同一节点的所有单元在节点处的位移是协调的。,在3号节点处,图1-12,F4 + F2 =0F3 + F1 + P2 =0 平衡条件,3 = 1 =结构上3点挠度4 = 2 =结构上3点转角 协调条件,系统节点力与节点位移关系为：,（1-6）,或缩写为：,F=K （1-7）,其中 K结构刚度矩阵,实际运算中，结
14、构刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成。集合结构刚度矩阵的过程就是使系统的平衡条件和变形协调条件得到满足的过程。,专题二、平面问题有限元方法的产生,提出：1945年德国数学家柯朗的平衡和振动问题的变分解法论文标志有限元的诞生。发展：1945-1966，有限元法有了原始代数表达式，单元划分、单元类型也被提出，解得收敛性研究上也有了进步。完善：1，建立了严格的数学和工程学基础。2，扩展到了结构力学以外的领域。3，收敛性得到了进一步研究。4，发展了相应的商业软件包。,离散化与有限单元法,将一个连续的几何实体，不容易用材料力学求解的、承受某种载荷的机械零件近似为若干个简单易解的力学模型，这一过程称为离散化
15、。单元数量越多，所求得的计算结果越接近实际物理状态。但是在用人工或计算机计算时单元数量不可能取为无穷大，只能是有限多个，所以将这种力学计算思路称为有限单元法。强度理论：判断材料在复杂应力状态下是否破坏的理论,弹性状态,一维：胡克定律,三维：广义胡克定律,塑性状态,应变与应力及变形历史有关,应力与应变增量的关系增量理论,屈服条件,一、低碳钢拉伸时的应力-应变曲线,OB：弹性阶段,sb,BC：屈服阶段,CD：强化阶段,DE：局部变形阶段,C,ss,ss,有限元的独到之处,1.模态分析 2.瞬态分析3.谐响应 4.谱分析5.速度高时 6.状态7.齿轮8.材料9.几何，大变形时,有限元不同与材料力学的
16、是在其分析物体几何形状、功能、边界条件作用下的强度、刚度、稳定性,第一强度理论,TRICA,第四强度理论,vonmises,开创塑性力学开端,塑性力学阶段,材料力学是在现有的实际设计体系下得到精确解，有限元研究范围更广，对同样问题所作的结果做解答，层次更深，校核解。,一、单拉下的应力-应变关系,二、纯剪的应力-应变关系,E：弹性模量m ：泊松比,G：剪切弹性模量,依叠加原理,得:,广义虎克定律,三、空间应力状态下的应力 - 应变关系,六、平面状态下的应力-应变关系:,五、主应力 - 主应变关系,2.1、有限元实例梯子,梯子的节点与单元,节点: 每个相邻的二力杆的连接处。为空间中的坐标位置，具有
17、一定自由度并存在相互物理作用。,二力杆单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体或者二维或三维的单元等种类。,载荷,梯子的有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。,I,三维杆单元 (铰接),UX, UY, UZ,节点自由度是随 单元类型 变化的。,梯子的节点与单元,梯子每个单元的特性是通过几个线性方程式来描述的。 作为一个整体，有限个单元形成了整体结构的数学模型。 尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度
18、系数。（即作用在弹性元件上的力或力矩的增量与相应的位移或角位移的增量之比),2.2、能量法与最小作用原理,能量法：energymethod能量守恒原理是自然界普遍存在的一个规律，应用能量原理解决问题的方法称之为能量法。它是研究差分格式（一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出近似的解来）稳定性的一般性方法，它可用于变系数乃至非线性方程.该方法的基本步骤是:首先对差分格式的解向量设计一个范数（设X是数域K上线性空间，称为X上的范数(norm)。）,其次证明经过每一时间步,该范数的增长不超过1+t倍,这就是差分格式在所考虑范数下的稳定性.能量法的名称来源于在一些简单情况下,
19、所使用的范数恰为系统的物理能量。,最小作用原理：在对物理实在（现象）的观察中，科学家们相信，对于不同的观察者物理实在可以不同，但其物理实在的结构（规律）必定是相同的。物理学中描述物理实在结构的方法之一就是作用量方法。这种方法从功能角度去考察和比较客体一切可能的运动（经历），认为客体的实际运动（经历）可以由作用量求极值得出，是其中作用量最小的那个。,2.3、变分法基本原理,变分法（calculus of variations），是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函（定义域是一个函数集，而值域是实数集或者实数集的一个子集，推广开来， 泛函就是从任意的向量空间
20、到标量的映射。也就是说，它是从函数空间到数域的映射。）可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到P的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。,2.4、平面有限元网格划分的基本原则,划分网格是建立有限元模型的一个重要环节，它要求考虑的题目较多，需要的工作量较大，所划分的网格形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。为建立正确、公道的有限元模型，这里介绍划分网格时应考虑的一些基本原则。2.4.1、网格
21、数目。网格数目的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般来讲，网格数目增加，计算精度会有所进步，但同时计算规模也会增加，所以在确定网格数目时应权衡两个因数综合考虑。，网格较少时增加网格数量可以使计算精度明显提高，而计算时间不会有大的增加。当网格数量增加到一定程度后，再继续增加网格时精度提高甚微，而计算时间却有大幅度增加。,2.4.2、网格疏密,网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，这是为了适应计算数据的分布特点。图2是中心带圆孔方板的四分之一模型，其网格反映了疏密不同的划分原则。小圆孔附近存在应力集中，采用了比较密的网格。板的四周应力梯度较小，网格分得较稀。其中图b中网格疏密相差
22、更大，它比图a中的网格少48个，但计算出的孔缘最大应力相差1%，而计算时间却减小了36%。由此可见，网格数量应增加到结构的关键部位，在次要部位增加网格是不必要的，也是不经济的，,2.4.3、单元阶次,许多单元都具有线性、二次和三次等形式，其中二次和三次形式的单元称为高阶单元。选用高阶单元可提高计算精度，因为高阶单元的曲线或曲面边界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界，且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数，所以当结构形状不规则、应力分布或变形很复杂时可以选用高阶单元。图3是一悬臂梁分别用线性和二次三角形（？）单元离散时，其顶端位移随网格数量的收敛情况。可以看出，但网格数量较少时，两种单元的计算
23、精度相差很大，这时采用低阶单元是不合适的。当网格数量较多时，两种单元的精度相差并不很大，这时采用高阶单元并不经济。,4、网格质量。网格质量是指网格几何形状的合理性。质量好坏将影响计算精度。5、网格分界面和分界点 。结构中的一些特殊界面和特殊点应分为网格边界或节点以便定义材料特性、物理特性、载荷和位移约束条件。6、位移协调性 。位移协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传递相邻单元。7、网格布局 。当结构形状对称时，其网格也应划分对称网格，以使模型表现出相应的对称特性(如集中质矩阵对称)。8、节点和单元编号。节点和单元的编号影响结构总刚矩阵的带宽和波前数，因而影响计算时间和存储容量的大小，因此合理的编号有利于提高计算速度。,
