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1、机器人学,战 强,北京航空航天大学机器人研究所,第五章、机器人动力学,第五章、机器人动力学,机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。,机器人动力学的用途：机器人的最优控制；优化性能指标和动态性能、调整伺服增益；设计机器人：算出实现预定运动所需的力/力矩；机器人的仿真：根据连杆质量、负载、传动特征的动态性能仿真。,动力学方法很多，如Lagrange、Newton-Euler、Gauss、Kane、Screw、Roberson-Wittenburg。,机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的动力学系统，存在严重的非线性，需要非常系统的方法来处理。,动力学的原问题：给定力/力矩，求解机器人的
2、运动； 是非线性的微分方程组，求解困难。动力学的逆问题：已知机器人的运动，计算相应的力/力矩， 即实现预定运动所需施加的力矩；不求解 非线性方程组，求解简单。,5.1 Lagrange动力学方法,Lagrange法：能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，而且具有显式结构。,Lagrange函数L定义：任何机械系统的动能 和势能 之差,动能和势能可以用任意选取的坐标系来表示，不局限于笛卡儿坐标,则该机械系统的动力学方程为：,（5-1）,假设机器人的广义坐标为,广义速度,将,代入到（5-1）式中：,（5-2）,例：图示R-P机器人，求其动力学方程。,1、质心的位置和速度,为了写出连杆1和连
3、杆2（质量 和 ）的动能和势能，需要知道它们的质心在共同的笛卡儿坐标系中的位置和速度。,质心 的位置是,速度是,速度的模方是,笛卡儿Cartesian(Latin)ka:ti:zjn Descartesdeika:t:法国哲学家、 数学家、物理学家，1596-1650，将笛卡尔坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。,质心 的位置是,速度是,速度的模方是,2、机器人的动能,4、机器人的动力学方程,根据式5-2，分别计算关节1和关节2上的力/力矩,3、机器人的势能,关节1上的作用力,关节2上的作用力,该R-P机器人的动力学方程为：,该方程表示关节上的作用力与各连杆运动之间的关系,加速度部分 速度部
4、分 位置部分,4、Lagrange动力学方程的一般形式,惯性力项,向心力项,哥式力项,重力项,对照可得：,有效惯量对于移动关节是质量，对于转动关节是惯性矩,机器人的有效惯性量和耦合惯性量，随机器人的形态变化而变化，跟负载、机器人是自由状态/锁死状态有关，变换范围大，对机器人的控制影响巨大。对于一个机器人的控制而言，需要计算出各个有效惯量、耦合惯量与机器人位置形态之间的关系。,假设R-P机器人的实际参数为：,例:,重力负载变化极大，在垂直状态是零，在水平时是最大（196）对机器人控制影响很大，在实际中采用平衡的方法或前馈补偿的方法。,Lagrange动力学方法的基本步骤：1、计算各连杆的质心的位
5、置和速度；2、计算机器人的总动能；3、计算机器人的总势能；4、构造Lagrange函数L；5、推导动力学方程。,5.2 惯性矩阵、惯性积和惯性张量,在R-P机器人的例子中假设各连杆的质量集中在一点，实际上各连杆的质量是均匀分布的，对于这种情况存在几个特殊的公式。,1、图示均质刚体，绕X、Y、Z轴的惯性矩阵定义为：,A,2、惯性积（混合矩）定义为：,3、对于给定的坐标系A，惯性张量定义为,惯性张量跟坐标系的选取有关，如果选取的坐标系使各惯性积为零，则此坐标系下的惯性张量是对角型的，此坐标系的各轴叫惯性主轴，质量矩叫主惯性矩。,相对于某一坐标系的质量分布的二阶矩阵，表示物体的质量分布,刚体质量和分
6、布的一阶矩阵定义为：,4、伪惯性矩阵定义为,质量分布的一阶矩和二阶矩的向量组成,伪惯性矩阵与惯性张量之间的关系为：,相对于原点的惯性矩,伪惯性矩阵与选取的坐标系有关，如果选取的坐标系的原点在刚体的质心，且选取坐标轴的方向使, 则此坐标系称为刚体的主坐标系,伪惯性矩阵为对角型的.,例：如图示坐标系，求密度为 的均匀长方体的惯性张量和伪惯性矩阵。,A,解： 长方体的质量为 质心坐标为 惯性矩为,惯性张量为,惯性积为,伪惯性矩阵为,惯性张量和伪惯性矩阵代表刚体质量分布相对于某一坐标系的二阶矩和一阶矩，具有下列特点：1）所有惯性矩恒为正，惯性积可正可负；2）当坐标系方位改变时， 不变；3）惯性张量的特
7、征值和特征矢量分别为刚体相应的主惯性矩 和惯性主轴。,5.3 Newton-Euler动力学方法,达朗贝尔原理：对于任何物体，外加力和运动阻力（惯性力）在任何方向上的代数和为零。将静力平衡条件用于动力学问题。,1）、牛顿第二定律（力平衡方程）：,连杆 i的质量,连杆 i质心的线速度,作用在连杆 i上的外力合矢量,1、达朗贝尔原理,一个刚体的运动可分解为固定在刚体上的任意一点的移动以及该刚体绕这一点的转动两部分,因此达朗贝尔原理可表示成两部分:,作用在连杆i上的合力等于连杆i的质量与质心加速度的乘积,作用在连杆i上的合力矩与连杆i质心的角加速度、角速度和惯性张量之间的关系,达朗贝尔原理将静力平衡
8、条件用于动力学问题，既考虑外加驱动力又考虑物体产生加速度的惯性力。,2）欧拉方程（力矩平衡方程）：,连杆 i在坐标系C中关于质心的惯性张量,连杆 i的角速度,作用在连杆i 上的外力矩合矢量,角动量,陀螺力矩,2、力和力矩的递推公式,在静力学分式中得到了力和力矩的平衡方程式,连杆i处于平衡状态时，所受合力为零，力平衡方程为,力矩平衡方程为,连杆i在运动的情况下，作用在i的合力为零，得力平衡式（不考虑重力）：,作用在质心上的外力矩矢量合为零，得力矩平衡式（不考虑重力）：,写成从末端连杆向内迭代的形式：,与静力递推不同的是考虑了惯性力和力矩,i坐标系,各关节上所需的扭矩等于连杆作用在它相邻连杆的力矩
9、的Z轴分量,对于移动关节，关节驱动力为,对于转动关节，关节驱动力为,操作臂在自由空间运动时，末端力的初值选择为,操作臂与外部环境有接触时，末端力的初值选择为,3、递推的Newton-Euler动力学算法,算法分两部分：1）外推：从连杆1到n递推计算各连杆的速度和加速度；2）内推：从连杆n到连杆1递推计算各连杆内部相互作用的力和力矩及关节驱动力和力矩。,1）外推计算各连杆速度和加速度，i:0n：,转动关节i+1,移动关节i+1,转动关节,移动关节,转动关节,移动关节,2)向内递推力、力矩, i: n 1：,4、考虑重力的动力学算法,令,即机器人基座受到的支撑作用相当于向上的重力,加速度g，这样处
10、理将各连杆重力的作用都包含在其中了，与各连杆重力的影响完全一样，因此使计算简便。,转动关节,移动关节,Newton-Euler动力学算法有两种用法：1）数值计算：已知连杆质量、惯性张量、质心矢量等2）封闭公式：即用关节变量、关节变量的速度和加速度表示的关节力的封闭形式,例：,2R机械手如图所示，两杆质量集中在连杆末端。,Newton-Euler递推公式中的运动学和动力学参数分别为：,两杆质心矢径：,相对质心的惯性张量：,末端执行器的作用力：,基座的运动（静止）：,重力作用：,可比较重力和惯性力的影响大小、向心力和哥氏力的影响,连杆之间的旋转矩阵为：,1）外推计算速度和加速度：,连杆1：,连杆2
11、：,2）内推计算力和力矩：,连杆2：,连杆1：,两个关节的驱动力矩为：,以关节位置、速度和加速度为变量的关节驱动力矩表达式，可以看出该2R机器人的封闭形式的动力学方程是比较复杂的，推论可知6自由度机器人的封闭形式的动力学方程会更复杂。,5、不同空间的动力学方程形式,前面推导的2R平面机械手的动力学方程可写成,质量矩阵nn对称阵,离心力和哥氏力, n1,重力, n1,状态方程,关节空间的动力学方程,对于2R平面机械手，其质量矩阵D(q)为,是,的系数矩阵,对称和正定的，存在逆,与惯性力相关,关节空间的动力学方程,状态量/关节变量,离心力：与关节速度的平方有关,哥氏力：与两个关节速度的乘积有关,离
12、心力和哥氏力：,重力：,形位空间的动力学方程（系数都是操作臂位形的系数）,哥氏力系数矩阵,离心力力系数矩阵,与速度有关的项,操作空间动力学方程,机器人关节空间与操作空间存在如下关系：,速度关系：,位置关系：,加速度关系：,关节空间的动力学方程为：,操作空间的动力学方程为：,动能矩阵/直角坐标系的质量矩阵,直角坐标系的离心力和哥氏力,直角坐标系的重力,广义操作力,广义操作力矢和关节力矢之间的关系为：,将,代入,，再将F代入上式,再与,比对，得：,如果J(q)的逆存在，则也可表示为：,当机器人接近奇异点时，操作空间动力学方程中的某些量趋于无限大，在该方向的运动不可能，动态性能恶化,操作运动关节力矩方程,机器人动力学是研究机器人各关节输入力矩/力与机器人输出运动之间的关系，因此经常考察操作运动与驱动力矩/力之间关系。,和,联立，得,或,将,哥氏力系数矩阵,离心力力系数矩阵,两个系数矩阵从 展开式中得到，一般,5.4 Lagrange法和Newton-Euler法的比较,Lagrange法： 以最简单的形式求得复杂系统的动力学方程， 具有显式结构；计算效率比较低。好推难算,Newton-Euler法： 计算速度快，能够满足伺服系统的速率和 采样频率，便于实时控制，方程式中含有 相邻杆件之间的约束力，为了消除约束力 需附加计算，结构复杂。 难推好算,
