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1、第三章 n维向量空间,n维向量的定义n维向量的线性运算向量组的线性相关性向量组的极大线性无关组向量空间习题课,定义1,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,第一节 维向量的概念,例如,n维实向量,第1个分量,第n个分量,第2个分量,维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：,注意,3行向量和列向量总被看作是两个不同的,向量和矩阵之间的关系,向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.,1向量的分量之间是有先后顺序的。,令,表示一切n维实向量组成的集合。若 是n维实向量，则可简记
2、 ,如果没有特别的说明，我们指的都是实向量。,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,一些特殊的向量：,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,n维0向量：,注：维数不同的零向量是不同的向量,n阶单位矩阵 的n个列向量分别记为：,称为n维基本向量,第二节 n维向量的线性运算,定义1,K是实数域中的一个数，则向量的加法,向量的加法和数乘统称为向量的线性运算,注：设n维向量,的对应分量相等，即,称这两个量是相等的，即,注：1 与 要么都是行向量，要么都是列向量。,2,与,的分量个数应相同。,例1,(1) 求 ， 的负向量,(2) 计算,一、线性组合,定义:,第三节
3、向量组的线性相关性,对于给定的向量组 A: 1,2 , ,m 和向量b,如果存在一组数 k1,k2,km 使关系式,则称向量b是向量组1,2 , ,m 的线性组合,或称向量b可以由向量组1 ,2 , ,m 线性表示.,比如说：,为n维基本向量,结论：任何n维向量都是n维基本向量的线性组合,设有向量,称b是 的线性组合.,或b可以由 线性表示.,例如：,二、向量组的线性相关性,定义 对于向量组A: 1, 2, , m,成立,则称向量组1, 2, , m 线性相关.,如果存在一组不全为零的数k1,k2,km使关系式,反之则称向量组1, 2, , m 线性无关.,成立,即只有当 k1=k2 = =
4、km= 0 时,才有,成立,则称向量组1, 2, , m 线性无关.,如果没有不全为零的k1,k2,km,使,例1：设有向量,则称向量组,线性相关,例2：,则由,，得,线性无关。,注： n维基本向量,线性无关,向量组中的一个部分组线性相关，则向量组线性相关，若一个向量组线性无关，则其中任何一个部分组线性无关,讨论x1,x2 , , xm的情况.,如果解得x1,x2 , , xm不全为零, 则1, 2, , m 线性相关;,如果推出x1=x2 = = xm= 0 ,则1, 2, , m 线性无关.,例3 讨论的线性相关性,e1 = ( 1, 0, , 0 )T,en = ( 0, 0, , 1 )T,e2 = ( 0, 1, , 0 )T,向量组 线性相关的充分必要条件为：其中至少有一个向量是其余向量的线性组合（可作为线性相关性的判定）,定理1,三、线性相关与线性组合之间的关系,向量组 线性相关,但 线性无关，则向量 可由向量组唯一地线性表示。,定理2,例4：讨论向量组 ，,的线性相关性。,解：设有实数,使,即,系数行列式,故方程组有非零解。如取,有,，所以,线性相关。,例5：设向量组 线性无关，,试证向量组,也线性无关。,证明：设,即,因为,线性无关,系数行列式为2，故方程组只有零解，,故得证,例6,设有向量组为 取何值时，该向量组线性相关。,
