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1、1,第四章 整数规划,4.1 整数规划数学模型和解的特点4.2 分配问题4.3 分枝定界法4.4 割平面法4.5 应用举例,2,4.3 分支定界法,分支定界法,3,原理：首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则这个解就是整数规划的最优解。如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数，把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性规划的最优解。如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的线性规划的最
2、优解，如果目标函数值劣于或等于这个“界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。,4,步骤：解整数规划问题（ILP）的松弛问题，结果可能有三种：松弛问题没有可行解，ILP也没有可行解，停止计算。松弛问题有最优解，并符合ILP的整数条件，则此最优解即为ILP的最优解，停止计算。松弛问题有最优解，但不符合ILP的整数条件，记它的目标函数值为 ；用观察法找问题ILP的一个整数可行解，求得其目标函数值，并记作 ，以Z*表示ILP的最优目标函数值，则分支，如松弛问题有一个最优解xj为非整数值bj，则可以构造两个分支。 xjbj xjbj+1定界，以每个后继问题为一分支表明求解的结果。,5,【例1】用分
3、枝定界法求解,【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）：,用图解法得到最优解X（3.57,7.14）,Z0=35.7,如下图所示。,6,8.33,10,松弛问题LP0的最优解X=(3.57,7.14),Z0=35.7,x1,x2,o,A,B,C,10,7,10,10,x1,x2,o,A,B,C,LP1,LP2,3,4,LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8,LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5,8,10,10,x1,x2,o,A,B,C,LP1,LP3,3,4,LP3:X=(4.33,6),Z3=35.33,6,LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8,9,10,10,x1,x2,o
4、,A,C,LP1,3,4,6,LP4:X=(4,6),Z4=34,LP5:X=(5,5),Z5=35,5,LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8,LP3,LP5,10,尽管LP1的解中x1不为整数，但Z5Z因此LP5的最优解就是原整数规划的最优解。,上述分枝过程可用下图表示,LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7,LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8,LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5,x13,x14,LP3:X=(4.33,6) Z3=35.33,x26,LP4:X=(4,6) Z4=34,LP5:X=(5,5) Z5=35,x14,x15,无可行解,x27,1
5、1,(11/4,9/4),Z=31/4,(3,3/2),Z=15/2,(2,2),Z=6,无解,无解,例2：,(11/4,9/4),x12,x13,(2,2),(3,3/2),x21,x22,(19/6,1),Z=22/3,(3,1),Z=7,(19/6,1),x13,x14,12,分支定界法的基本思想以求相应的线性规划问题的最优解为出发点，如果得到的解不符合整数条件，就将原规划问题分成几支，每支增加了约束条件，即缩小了可行解区域，可行解范围也随之缩小了，因而整数规划的最优值不会优于相应的线性规划最优值。“定界”是指为目标函数定上下界，以便自动舍去那些最优值较差的子问题，提高计算效率。当整数规
6、划问题的最优目标函数值的上下界相等时，该整数规划最优解已求出。,13,分枝定界法的步骤：,1. 求整数规划的松弛问题最优解；2.若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解，否则转下一步；3.任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束xixi及xixi+1组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目标值是分枝问题的下界；4. 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算,若还存在非整数解并且目标值大于（max）整数解的目标值，需要继续分枝，再检查，直到得到最优解。,14,作业,P1274.8,
