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1、证明不等式的基本方法课件,一.比较法:,一.比较法:,比商法,常用有幂式比大小,练习1.已知a,b是正数,求证 ,当且仅当 时,等号成立.,书P25页2（2）,书P23页4,比商法,常用有幂式比大小练习1.已知a,b是正数,求证,一.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式： 比差法：要证ab，只须证a-b0。 比商法：要证ab且b0，只须证 1,说明：作差比较法证明不等式时， 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等
2、式时常用比差法。,一.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法,二.分析法:,二.分析法:,证明不等式的基本方法课件,三.综合法:,三.综合法:,例2.如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则糖的质量分数为a/b.若在上述溶液中再添加mkg白糖,此时糖的质量分数增加到(a+m)/(b+m).将这个试试抽象为数学问题,并给出证明.,证一：看书P22页,证二：分析法,例2.如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则糖的质量分数为a/,练习：书P25页：2（1）a,b,c0,求证：（ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc,练习：书P25页：,三.综合法：利用某些已经证明过的不等式
3、作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。 在用基本不等式证明时要注意一正二定三相等的条件。,三.综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式,1。调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数,2。等号当且仅当a=b=c时成立,3。一正二定三相等,1。调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数2。等号当,当且仅当 时取等号,当且仅当 时取等,a,b同号右左边取“=”，a,b异号左右边取“=”,当且仅当a1,a2,an0或a1,a2,an0取“=”,a,b同号右左边取“=”，a,b异号左右边取“=”当且仅当a,假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错
4、误,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫反证法.(正难则反),四.反证法:,例、已知 ，求证： 中至少有一个不小于 。,假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因,如、求证:,五.构造函数法：构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法。,如、求证:五.构造函数法：构造函数用函数单调性，构造图形用数,六.放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得BB1，B1B2，BiA，再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法。,六.放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个,解：（1）比差法或用数学归纳法证。,先求和再放缩,解：（1）比差法或用数学归纳法
5、证。先求和再放缩,证明不等式的基本方法课件,证明不等式的基本方法课件,七.导数法：移项，让一边为0，把其中一个字母作为变量，其它当常数，通过求导求出最小值与0比较即可证。,n=1相等；n大于等于2，当x0增，0 x-2,导数小于0，为减，所以最小f(0),八。数学归纳法：格式问题呵,七.导数法：移项，让一边为0，把其中一个字母作为变量，其它当,九.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略.主要是三角换元和均值换元。,例7(1)设,三角
6、换元,九.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的,（2）设 ，且 ， 求证： ；,（2）设 ，且,如、已知 ，求证： 都属于,10。 “”法。,如、已知,变式：设 且 求证：,变式：设,如：（1）正数x ,y满足x+2y=1,则 改为x+2y=5又如何？（2）,11。逆代法,如：11。逆代法,例9已知i，m，n是正整数，且1imn (I)证明niAimmiAin； (2)证明(1+m)n(1+n)m,先放缩再求和,例9已知i，m，n是正整数，且1imn先放缩再求和,1。（1）提示：比差即可得右边不等式,证明不等式的基本方法课件,证明不等式的基本方法课件,证明不等式的基本方法课件,证明不等式的基本方法课件,证明不等式的基本方法课件,证明不等式的基本方法课件,
