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1、细长杆作垂直于轴线方向的振动时，其主要变形形式是梁的弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动。,以y(x，t)表示梁的横向位移，它是截面位置x和时间t的二元函数；以f(x,t)表示作用于梁上的单位长度的横向力。,系统的参数：单位体积质量(x)，横截面积A(x)，弯曲刚度EJ(x)，E为弹性模量，J(x)为横截面对垂直于x和y轴且通过横截面形心轴的惯性矩。,3.4 梁的弯曲振动,假设：梁各截面的中心轴在同一平面内，且在此平面内作弯曲振动，在振动过程中仍保持为平面；不计转动惯量和剪切变形的影响；不考虑截面绕中心轴的转动。,取微段dx，如图所示，用Q(x,t)表示剪切力，M(x,t)表示弯矩。,在铅直y
2、方向的运动方程为,上式简化为,略去dx的二次项，上式简化为,代入运动微分方程得,在整个区间(0 xL)中，都满足上式关系。,忽略截面转动的影响，微段的转动方程为,由材料力学知，弯矩和挠度有如下关系式,梁横向振动的偏微分方程,该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。求解该方程，需要四个边界条件和两个初始条件。,若f(x,t)=0，即为梁自由振动的偏微分方程,上述方程的解对空间和时间是分离的，令,同前面讨论的波动方程一样，可得关于时间t的微分方程为,上述方程的通解为简谐函数,式中A和B为积分常数，由两个初始条件确定。,同样可以得关于空间变量x的微分方程为,通过求解上式，可以得到振型函数的一般表达式。
3、振型函数Y(x)必须满足相应的边界条件。,常见的边界条件,(1)固定端：位移和转角等于零，即,(2)铰支端：位移和弯矩等于零，即,(x=0 或 x=L),(x=0 或 x=L),(3)自由端：弯矩和剪力等于零，即,(x=0 或 x=L),对位移和转角的限制属于几何边界条件； 对剪力和弯矩的限制属于力的边界条件。,其它边界条件：如端点有弹簧支承或有集中质量等等。,用位移二元函数y(x,t)表示的边界条件！,用振型函数Y(x)表示的边界条件！,(1)固定端：位移和转角等于零，即,(x=0 或 x=L),(2)铰支端：位移和弯矩等于零，即,(x=0 或 x=L),(3)自由端：弯矩和剪力等于零，即,
4、(x=0 或 x=L),用振型函数表示的边界条件,将方程 代入上述各边界条件，则边界条件可以用振型函数表示。,该方程为四阶常系数线性常微分方程。,若单位体积质量(x)=常数，横截面积A(x)=A=常数，横截面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=常数。,代入振型微分方程，得特征方程,振型方程可以简化为,设其解为,振型方程的简化,四个特征根为,因为,将上述解改写为,这就是梁横向振动的振型函数，其中C1，C2，C3，C4为积分常数，可以用四个边界条件来确定其中三个积分常数(或四个常数的相对比值)及导出特征方程，从而确定梁弯曲振动的固有频率和振型函数Y(x)。,注：常用的双曲函数公式有,等截面均质梁的固有
5、振动为,或者写为,式中有C1, C2, C3, C4, 和六个待定常数。因为梁每个端点有两个边界条件，共有四个边界条件，加上两个振动初始条件恰好可以决定六个未知数。,下面着重讨论等截面均质梁弯曲振动的固有频率和固有振型。,1、简支梁,简支梁的边界条件为,将第一组边界条件代入下式,两式相加，2C3shL=0。因为当L0时，shL0，故得C3=0。,将第二组边界条件代入下式,两式相减，2C1sinL=0。因求振动解，所以C10。特征方程：,它的根为,由此得特征值为,因为振型只确定系统中各点振幅的相对值，不能唯一地确定幅值的大小，故其表达式无需带常数因子，则振型函数表为,固有频率为,因,相应的振型函
6、数为,2、固支梁,固支梁的边界条件为,将第一组边界条件代入下式,将第二组边界条件代入下式,若上式对C3和C4有非零解，它的系数行列式必须为零,简化后得特征方程,求特征方程 的根,=0是上式的一个解，对应于系统的静止状态，故舍去。应用数值解法求得这一超越方程最低几个特征根为,固定梁的前几个特征根值,对应于r2的各个特征根，特征根可近似地表示为,把C1=-C3和C2=-C4代入如下振型函数,振型函数简化为,C3/C4由上述所建立的边界条件求出，即由下式求出,整理得振型函数,显然，常数C4取不同的值并不影响振动形态，因此可取C4=1，振型函数为,振型函数及其各阶导数,3、悬臂梁,悬臂梁的边界条件为,
7、这是关于C3和C4的线性代数方程组，具有非零解的条件为,上式经展开并化简后得频率方程为,这就是悬臂梁弯曲振动的特征方程。,利用上式结果，并把第二组边界条件代入振型函数的第二阶和第三阶导数式，得,由数值法求特征方程的根。也可用作图法求出，将上式改写成,以L为横坐标，作出cosL和-1/chL的曲线。曲线的交点即为特征方程的根。,悬臂梁前几个特征根的值,当r4时，各个特征方程的根可近似地表示为,根据特征根，悬臂梁的固有频率为,求得各个特征根后，由下式确定系数C3和C4的比值,与r相相应的振型函数为,前面讨论了等截面均质梁弯曲振动的三种典型边界条件的情形，常见的还有自由梁、固支-铰支梁和铰支-自由梁
8、，下面对其作简要的介绍。,4、自由梁,两端自由梁的频率方程为,其特征根如表所示。,自由梁的前几个特征根值,表中的特征根可以近似表示为,注意：自由梁与固支梁有相同的弯曲振动固有频率，但是它们相应的振型函数却是不同的。,振型函数为,5铰支固支梁,一端铰支一端固定梁的频率方程为,其特征根如表所示,铰支-固支梁的前几个特征根值,特征根可以近似表示为,振型函数为,6、铰支-自由梁,一端铰支一端自由梁的频率方程为,其特征根如表所示。,显然，=0为梁横向振动的特征根，对应于定轴转动的刚体振型。,注意:铰支自由梁和铰支固支梁具有相同的弯曲振动的固有频率，但其振型函数却不相同。,铰支-自由梁的前几个特征根值,特
9、征根近似表示为,振型函数为,关于简支梁、固支梁、悬臂梁、自由梁、铰支固支梁、铰支-自由梁的前三阶振型函数如图所示。,等截面简支梁,等截面固支梁,第一阶振型第五阶振型的动画演示,等截面悬臂梁,等截面自由梁,第一阶振型第四阶振型的动画演示,等强度悬臂梁,虽然从特征方程可得出无穷多个特征值及其振型函数，但应该指出，由于简单梁理论的局限性，高阶振型愈来愈不正确。,前面讨论了六种不同边界条件下的等截面均质梁弯曲振动的固有频率和振型函数。下表对比了这六种情形的固有频率、振型函数。,这是因为节点数随着振型的增加而增加，所以节点间的距离相应地就减小，梁单元剪切变形和转动惯量的影响就愈加不能忽略了。,等截面均质
10、梁的弯曲振动,注 ：,等截面均质梁的弯曲振动(续),例1 等截面均质悬臂梁的自由端加横向弹性支承，其弹簧刚度为k，如图所示。导出频率方程。,解：取固支端作为坐标系Oxy的原点。振型函数,在弹性支承端，弯矩为零，剪力等于弹性力。考虑到弹性力是恢复力，并且其方向按截面剪力的正负号规定，那么当Y(L)为正时，弹性力向下，作为剪力应取正号。,故弹性支承端的边界条件为,根据振型函数及其二、三阶导数,上式是关于C3、C4的线性代数方程组。该方程组具有非零解的条件为,化简后得,化简后得固有频率方程,注意到，当k=0时，上式转化为,当k时，频率方程简化为,这就是一端固定、一端铰支梁的弯曲振动频率方程。,例2
11、设在悬臂梁的自由端附加一集中质量M，如图所示。试求其频率方程。,解：取固支端作为坐标系Oxy的原点。假设附加质量可以视为质点。,在梁的x=L截面处弯矩为零，剪力等于质量M的惯性力。在L端的剪力向下为正，根据作用力与反作用力定律，作用在集中质量M上的剪力向上为正；截面位移 y(x,t) 向上为正，根据牛顿定律，集中质量M的运动微分方程为,梁附加质量端的边界条件用振型函数表示为,梁附加质量端的边界条件为,再考虑到,将其代入频率方程，可得,由边界条件，可求得频率方程为,令M/AL=，的物理意义为附加质量与梁质量之比。,例3 如图示，一长度为L的简支梁，受强度为w的均布载荷而产生挠曲。如果载荷移去，求
12、梁的响应。,解：图示简支梁横向振动的固有频率与振型函数为,简支梁横向自由振动的解表示为,式中Ar和Br由初始条件确定。,由此得,设在t=0时，初始挠度和初始速度为,根据本题题意，当t=0时，初始位移为,初始速度为,由此初始条件得,梁横向振动的响应为,假设：梁各截面的中心轴在同一平面内，且在此平面内作弯曲振动，在振动过程中仍保持为平面；不计转动惯量和剪切变形的影响；不考虑截面绕中心轴的转动。 微元受力如图所示。,考虑轴力影响时梁的弯曲振动,如图，梁承受平行于轴线的轴向力N的作用；假定轴向力N是常量，大小与方向均不随时间和位置发生变化。,微段dx受力：用Q(x,t)表示剪切力，M(x,t)表示弯矩
13、。,由图看出，轴力对梁的横向平衡无影响。在铅直y方向的运动方程仍然为,上式简化为,略去dx的二次项，上式简化为,运动微分方程,忽略截面转动的影响，微段转动方程为,由材料力学知，弯矩和挠度有如下关系式,梁横向振动的偏微分方程,该方程包含四阶空间导数和二阶时间导数。求解该方程，需要四个边界条件和两个初始条件。,若f(x,t)=0，即为梁自由振动的偏微分方程,上述方程的解对空间和时间是分离的，令,同前面讨论的波动方程一样，可得关于时间t的微分方程为,上述方程的通解为简谐函数,式中A和B为积分常数，由两个初始条件确定。,若(x)=常数，横截面积A(x)=A=常数，横截面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=
14、常数，振型方程简化为,该方程是一个四阶常系数线性常微分方程。设其解为,代入振型微分方程，得特征方程,关于空间变量x的微分方程为,式中,四个特征根为,振型方程为,这就是梁横向振动的振型函数，其中C1，C2，C3，C4为积分常数，可以用四个边界条件来确定其中三个积分常数及导出特征方程，从而确定梁弯曲振动的固有频率和振型函数Y(x)。,在上述梁的弯曲振动中，假设了梁的横截面尺寸相对于其长度是比较小的，即纵横比很大，从而忽略了梁的剪切变形和横截面转动的影响。 对于纵横比较小（高跨比较大）的梁，应考虑剪切变形和横截面转动的影响，它们对高阶固有频率和振型有较大影响。 当考虑剪切变形和横截面转动的影响时，这种梁称为铁摩辛柯（Timoshenko）梁。 对于铁摩辛柯梁横向振动固有频率、振型函数的求解方法，参考有关专著。,考虑剪力和转动惯量影响时梁的弯曲振动,
